Determine as equações
Reta passando por P_{0}=(1,3) gerada por \vec{v}=(2,5)

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta que passa por P_{0}=(1,3) e é gerada pelo vetor direção \vec{v}=(2,5).
Informações dadas:
  • Ponto inicial: P_{0}=(1,3).
  • Vetor direção: \vec{v}=(2,5).
O que vamos devolver: uma forma paramétrica da reta, a forma simétrica (quando possível) e formas cartesianas (pendente/intercepto e forma geral).

Passo 2

Conceito básico (aula rápida e direta). A equação vetorial paramétrica de uma reta que passa por um ponto \mathbf{r}_0 e tem vetor direção \mathbf{v} é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v},
onde \mathbf{r}(t) é o vetor posição de um ponto qualquer da reta e t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Aqui:
  • \mathbf{r}_0 representa o ponto inicial (componente horizontal e vertical).
  • \mathbf{v} dá a direção e o “passo” da reta: se t aumenta de 1, move-se \vec{v}.
    Isso é útil na prova porque transforma o problema de reta em contas simples com parâmetro.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os dados do enunciado:
\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Essa é a equação vetorial/paramétrica em forma de vetor.]

Passo 4

Escrevendo por componentes (forma paramétrica explícita):
\begin{cases} x=1+2t,\\[4pt] y=3+5t, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.
Explicação: x e y são funções lineares de t. Para t=0 volta-se ao ponto P_{0}. Para t=1 obtém-se o ponto (1+2,\,3+5)=(3,8).]

Passo 5

Forma simétrica. Se o componente x do vetor direção for diferente de zero (aqui 2\neq0), pode-se eliminar t entre as duas equações e obter
\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{5}=t.
Essa forma mostra a proporcionalidade entre os incrementos em x e y.

Passo 6

Forma com inclinação (slope-intercept). A inclinação (coeficiente angular) da reta vem das componentes do vetor direção:
m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5}{2}.
Usando a fórmula ponto‑pendente \,y-y_0=m(x-x_0)\, com P_{0}=(1,3):
y-3=\frac{5}{2}(x-1).
Agora simplificamos passo a passo:
y=3+\frac{5}{2}(x-1),
y=3+\frac{5}{2}x-\frac{5}{2},
y=\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}.
Essa é a forma explicita y= (boa para interpretar a inclinação e o intercepto).

Passo 7

Forma geral (ax+by+c=0). A partir de y=\dfrac{5}{2}x+\dfrac{1}{2}, multiplica-se por 2 para eliminar frações:
2y=5x+1.
Passando todos os termos para um lado:
5x-2y+1=0.
Essa é a forma geral da reta, útil em muitas provas e aplicações.

Passo 8

Checagem rápida (para ganhar confiança). Verificar que P_{0}=(1,3) satisfaz a forma geral:
5\cdot1-2\cdot3+1=5-6+1=0,
ok. Também verificar com t=1 (ponto (3,8)):
5\cdot3-2\cdot8+1=15-16+1=0,
ok — consistência confirmada.

Resposta

\begin{cases}x=1+2t,\\[4pt]y=3+5t,\quad t\in\mathbb{R}\end{cases}
\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{5}
y=\dfrac{5}{2}x+\dfrac{1}{2}
5x-2y+1=0]

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