Determine as equações
Reta passando por
gerada por
Reta passando por
Passo 1
O enunciado pede as equações da reta que passa por
e é gerada pelo vetor direção
.
Informações dadas:
- Ponto inicial:
. - Vetor direção:
.
O que vamos devolver: uma forma paramétrica da reta, a forma simétrica (quando possível) e formas cartesianas (pendente/intercepto e forma geral).
Passo 2
Conceito básico (aula rápida e direta). A equação vetorial paramétrica de uma reta que passa por um ponto
e tem vetor direção
é
onde
é o vetor posição de um ponto qualquer da reta e
é o parâmetro. Aqui:
-
representa o ponto inicial (componente horizontal e vertical). -
dá a direção e o “passo” da reta: se aumenta de 1, move-se .
Isso é útil na prova porque transforma o problema de reta em contas simples com parâmetro.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os dados do enunciado:
Essa é a equação vetorial/paramétrica em forma de vetor.]
Passo 4
Escrevendo por componentes (forma paramétrica explícita):
Explicação:
e
são funções lineares de
. Para
volta-se ao ponto
. Para
obtém-se o ponto
.]
Passo 5
Forma simétrica. Se o componente
do vetor direção for diferente de zero (aqui
), pode-se eliminar
entre as duas equações e obter
Essa forma mostra a proporcionalidade entre os incrementos em
e
.
Passo 6
Forma com inclinação (slope-intercept). A inclinação (coeficiente angular) da reta vem das componentes do vetor direção:
Usando a fórmula ponto‑pendente
com
:
Agora simplificamos passo a passo:
Essa é a forma explicita
(boa para interpretar a inclinação e o intercepto).
Passo 7
Forma geral (ax+by+c=0). A partir de
, multiplica-se por
para eliminar frações:
Passando todos os termos para um lado:
Essa é a forma geral da reta, útil em muitas provas e aplicações.
Passo 8
Checagem rápida (para ganhar confiança). Verificar que
satisfaz a forma geral:
ok. Também verificar com
(ponto
):
ok — consistência confirmada.