(8 pts.) Calcule o seguinte limite
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão que vamos analisar é
. - A variável
tende para infinito: .
Pergunta: qual é o valor desse limite (é um número finito,, ou não existe)?
Passo 2
Conceito básico (rápida aulinha): dizer que
significa que, quando
cresce muito,
fica próximo de
. Se
cresce sem limite, dizemos
(ou
se decair sem limite). Uma técnica muito útil é comparar o crescimento dos polinômios pelos termos de maior grau: o termo de maior grau domina o comportamento quando
.
Passo 3
Observação sobre graus de polinômios: no numerador temos um polinômio de grau
(o termo dominante é
) e no denominador temos um polinômio de grau
(termo dominante
). Em geral, se o grau do numerador é maior que o grau do denominador, o quociente tende a infinito em módulo quando a variável tende a infinito. Aqui o grau do numerador é uma unidade maior que o do denominador, então esperamos que o quociente cresça aproximadamente como
e, portanto, vá para
quando
.
Passo 4
Fazer uma manipulação algébrica elementar que deixa o comportamento claro: dividir numerador e denominador por
(poderíamos dividir por
também; escolho
para ficar mais direto). Calculamos
Passo 5
Analisar o limite da expressão transformada. Sabemos que
Assim, na expressão
a parte
tende a
, enquanto o termo
no numerador ainda tende a
. Mais formalmente: o denominador tende a
(um número positivo), e o numerador tende a
. Se uma fração tem numerador que tende para
e denominador que tende para um número real estritamente positivo, a fração inteira tende para
. (Intuição: para
grande,
fica perto de
e não anula o crescimento do numerador.) Portanto
Conclusão final: o limite pedido diverge para
. Você pode memorizar o atalho: quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite em infinito é infinito (com sinal determinado pelos coeficientes dominantes).