(8 pts.) Calcule o seguinte limite
\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{z^{2}+1}{z-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{z\to\infty}\frac{z^{2}+1}{z-1}.
Informações dadas:
  • A expressão que vamos analisar é \dfrac{z^{2}+1}{z-1}.
  • A variável z tende para infinito: z\to\infty.
    Pergunta: qual é o valor desse limite (é um número finito, +\infty, -\infty ou não existe)?

Passo 2

Conceito básico (rápida aulinha): dizer que \lim_{z\to\infty} f(z)=L significa que, quando z cresce muito, f(z) fica próximo de L. Se f(z) cresce sem limite, dizemos \lim_{z\to\infty} f(z)=\infty (ou -\infty se decair sem limite). Uma técnica muito útil é comparar o crescimento dos polinômios pelos termos de maior grau: o termo de maior grau domina o comportamento quando z\to\infty.

Passo 3

Observação sobre graus de polinômios: no numerador temos um polinômio de grau 2 (o termo dominante é z^{2}) e no denominador temos um polinômio de grau 1 (termo dominante z). Em geral, se o grau do numerador é maior que o grau do denominador, o quociente tende a infinito em módulo quando a variável tende a infinito. Aqui o grau do numerador é uma unidade maior que o do denominador, então esperamos que o quociente cresça aproximadamente como z e, portanto, vá para +\infty quando z\to+\infty.

Passo 4

Fazer uma manipulação algébrica elementar que deixa o comportamento claro: dividir numerador e denominador por z (poderíamos dividir por z^{2} também; escolho z para ficar mais direto). Calculamos
\frac{z^{2}+1}{z-1}=\frac{z+\dfrac{1}{z}}{1-\dfrac{1}{z}}.

Passo 5

Analisar o limite da expressão transformada. Sabemos que
\lim_{z\to\infty}\frac{1}{z}=0.
Assim, na expressão \dfrac{z+\tfrac{1}{z}}{1-\tfrac{1}{z}} a parte \tfrac{1}{z} tende a 0, enquanto o termo z no numerador ainda tende a +\infty. Mais formalmente: o denominador tende a 1 (um número positivo), e o numerador tende a +\infty. Se uma fração tem numerador que tende para +\infty e denominador que tende para um número real estritamente positivo, a fração inteira tende para +\infty. (Intuição: para z grande, 1-\tfrac{1}{z} fica perto de 1 e não anula o crescimento do numerador.) Portanto
\lim_{z\to\infty}\frac{z+\tfrac{1}{z}}{1-\tfrac{1}{z}}=+\infty.
Conclusão final: o limite pedido diverge para +\infty. Você pode memorizar o atalho: quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite em infinito é infinito (com sinal determinado pelos coeficientes dominantes).

Resposta

\infty

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