Conduza pelo ponto
uma reta igualmente inclinada em relação a
e s:
.
Passo 1
O enunciado pede: "Conduza pelo ponto
uma reta igualmente inclinada em relação a
e
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- Ponto por onde a(s) reta(s) deve(m) passar:
. - Reta
tem equação . - Reta
tem equação , que também pode ser escrita . - A expressão "reta igualmente inclinada em relação a
e " significa que a reta forma o mesmo ângulo com e com . Geralmente existem duas retas com essa propriedade (as duas bissetrizes do ângulo formado por e ), e precisamos as que passam por .
Passo 2
Ideia do método (explicada passo a passo, sem pular etapas):
- O ângulo que uma reta forma com outra depende só da direção (inclinação) das retas, não da posição. Assim, qualquer reta paralela à bissetriz do ângulo entre
e também será igualmente inclinada em relação a e . - Portanto, para encontrar as retas pedidas basta:
- Determinar as duas bissetrizes do ângulo formado por
e (essas bissetrizes passam pelo ponto de interseção de e ); - Traçar por
as retas paralelas a essas bissetrizes.
Vou então calcular as bissetrizes entree .
- Determinar as duas bissetrizes do ângulo formado por
Passo 3
Colocar
e
na forma padrão
:
- Para
obtemos . Assim , , . - Para
escrevendo temos , , .
Fórmula das bissetrizes (uma pequena aula prática):
Para duas retas e
, as equações das bissetrizes são
Para duas retas
Aqui cada lado é a distância algébrica do ponto
a cada reta, normalizada; o sinal
dá uma bissetriz e o sinal
dá a outra.
Aplicando ao nosso caso: as normas são
Como as normas são iguais, a fórmula simplifica para
Resolver para os dois sinais:
Sinal
:
Sinal
:
Conclusão: as bissetrizes são as retas
e
. Essas passam pela origem (coincide com a interseção de
e
).
Passo 4
Agora construímos, por
, as retas paralelas a cada bissetriz (lembre: reta paralela mantém a mesma inclinação, logo mantém igualdade dos ângulos com
e
).
- Paralela a
(inclinação ): equação ponto-inclinação
Portanto
- Paralela a
(inclinação ): equação ponto-inclinação
Portanto
Passo 5
Breve verificação conceitual (opcional, mas ajuda a fixar): essas duas retas têm inclinações
e
. Os ângulos das retas
e
são
e
. A média angular dá bissetrizes com tangentes
e
, consistente com o resultado. Assim as duas retas obtidas são as procuradas.