Conduza pelo ponto P(3,0) uma reta igualmente inclinada em relação a r: y=2 x e s: x=2 y.

Passo 1

O enunciado pede: "Conduza pelo ponto P(3,0) uma reta igualmente inclinada em relação a r: y=2x e s: x=2y".
Informações dadas:
  • Ponto por onde a(s) reta(s) deve(m) passar: P(3,0).
  • Reta r tem equação y=2x.
  • Reta s tem equação x=2y, que também pode ser escrita y=\tfrac{1}{2}x.
  • A expressão "reta igualmente inclinada em relação a r e s" significa que a reta forma o mesmo ângulo com r e com s. Geralmente existem duas retas com essa propriedade (as duas bissetrizes do ângulo formado por r e s), e precisamos as que passam por P.

Passo 2

Ideia do método (explicada passo a passo, sem pular etapas):
  • O ângulo que uma reta forma com outra depende só da direção (inclinação) das retas, não da posição. Assim, qualquer reta paralela à bissetriz do ângulo entre r e s também será igualmente inclinada em relação a r e s.
  • Portanto, para encontrar as retas pedidas basta:
    1. Determinar as duas bissetrizes do ângulo formado por r e s (essas bissetrizes passam pelo ponto de interseção de r e s);
    2. Traçar por P as retas paralelas a essas bissetrizes.
      Vou então calcular as bissetrizes entre r e s.

Passo 3

Colocar r e s na forma padrão A x + B y + C = 0:
  • Para r: y=2x obtemos 2x - y = 0. Assim A_1=2, B_1=-1, C_1=0.
  • Para s: x=2y escrevendo x-2y=0 temos A_2=1, B_2=-2, C_2=0.
Fórmula das bissetrizes (uma pequena aula prática):
Para duas retas A_1 x + B_1 y + C_1 = 0 e A_2 x + B_2 y + C_2 = 0, as equações das bissetrizes são
\frac{A_1 x + B_1 y + C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\pm\frac{A_2 x + B_2 y + C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}.
Aqui cada lado é a distância algébrica do ponto (x,y) a cada reta, normalizada; o sinal + dá uma bissetriz e o sinal - dá a outra.
Aplicando ao nosso caso: as normas são
\sqrt{A_1^2+B_1^2}=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}, \qquad \sqrt{A_2^2+B_2^2}=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}.
Como as normas são iguais, a fórmula simplifica para
2x-y=\pm(x-2y).
Resolver para os dois sinais:
Sinal +:
2x-y = x-2y \implies 2x - y - x + 2y = 0 \implies x + y = 0 \implies y = -x.
Sinal -:
2x-y = -x + 2y \implies 2x + x - y -2y = 0 \implies 3x -3y =0 \implies x - y =0 \implies y = x.
Conclusão: as bissetrizes são as retas y=x e y=-x. Essas passam pela origem (coincide com a interseção de r e s).

Passo 4

Agora construímos, por P(3,0), as retas paralelas a cada bissetriz (lembre: reta paralela mantém a mesma inclinação, logo mantém igualdade dos ângulos com r e s).
  1. Paralela a y=x (inclinação m=1): equação ponto-inclinação
y-0 = 1\,(x-3).
Portanto
y = x-3.
  1. Paralela a y=-x (inclinação m=-1): equação ponto-inclinação
y-0 = -1\,(x-3).
Portanto
y = -x+3.

Passo 5

Breve verificação conceitual (opcional, mas ajuda a fixar): essas duas retas têm inclinações 1 e -1. Os ângulos das retas r e s são \arctan 2 e \arctan\!\tfrac{1}{2}. A média angular dá bissetrizes com tangentes 1 e -1, consistente com o resultado. Assim as duas retas obtidas são as procuradas.

Resposta

y = x - 3
y = -x + 3

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