Determine as equações das retas tangente no gråfico das seguintes funçöes, no ponto de abscissa dada:
(a) y=x^5+1x^4+1, x=1

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função
y = x^5 + 1x^4 + 1
no ponto cuja abscissa é x=1. Para isso, precisamos (1) determinar o ponto de tangência l(x0,y0r) calculando y(1) e (2) calcular a derivada y'(x) pelo quociente de funções, avaliá-la em x=1 para obter o coeficiente angular m, e finalmente usar a equação ponto-inclinação da reta tangente.

Passo 2

Calculamos o valor da função em x=1:
y(1) ;=; 1^5+11^4+1 ;=;1+11+1 ;=;22 ;=;1
Logo, o ponto de tangência é l(1,1r).

Passo 3

Usamos a regra do quociente para obter y'(x). Se
y(x) = u(x)v(x),
então
y'(x) = v(x),u'(x) - u(x),v'(x)l(v(x)r)^2
Aqui u(x)=x^5+1 e v(x)=x^4+1, então
u'(x)=5x^4, v'(x)=4x^3
Portanto,
y'(x) = (x^4+1)cdot 5x^4 ;-;(x^5+1)cdot 4x^3 (x^4+1)^2

Passo 4

Avaliamos y'(x) em x=1:
y'(1) = (1+1)cdot 5cdot1^4 ;-;(1+1)cdot 4cdot1^3(1+1)^2 = 2cdot5 - 2cdot42^2 = 10 - 84 = 24 = tfrac12
Logo, o coeficiente angular da reta tangente é m=tfrac12.

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto l(1,1r) usando a forma ponto-inclinação
y - y0 = m,(x - x0)
fica
y - 1 = tfrac12,(x - 1)
Para simplificar, expandimos:
y - 1 = tfrac12 x - tfrac12 Longrightarrow y = tfrac12 x + tfrac12

Resposta

A equação da reta tangente é
y = tfrac12 x + tfrac12

Exercícios relacionados