Encontre o raio R e o intervalo I de convergência da série.
sumn=1^+infty(-1)^n (x+1)^nn 4^n

Passo 1

O enunciado pede o raio R e o intervalo I de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^n(x+1)^nn4^n
O conteúdo é séries de potências centradas em x=-1. Para resolver, vamos usar o teste da razão para achar R e depois testar os pontos finais.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão na forma de módulo dos termos
an = (-1)^n(x+1)^nn4^n
Calculamos
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|x+1|4nn+1 = |x+1|4
Para convergir, precisamos de
|x+1|4<1 Leftrightarrow |x+1|<4

Passo 3

A desigualdade |x+1|<4 equivale ao intervalo
-5 < x < 3
Isso define o raio de convergência R=4 e garante convergência absoluta em (-5,3).

Passo 4

No endpoint x=-5 temos x+1=-4 e
an = (-1)^n(-4)^nn4^n = 4^nn4^n = 1n
A série fica sumn=1^infty1n, que diverge (série harmônica). Logo não inclui x=-5.

Passo 5

No endpoint x=3 temos x+1=4 e
an = (-1)^n4^nn4^n = (-1)^nn
Isso é a série alternada sumn=1^infty(-1)^nn, que converge (critério de Leibniz). Logo inclui x=3.

Resposta

R = 4
I = (-5,,3]

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