Determine as equações das retas tangente no gråfico das seguintes funçöes, no ponto de abscissa dada:
(c) y=raizx^2+2 x, x=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
y=raizx^2+2x
no ponto de abscissa x=1.
Vamos usar derivação de função composta (regra da cadeia) para obter a inclinação da tangente e, em seguida, escrever a equação da reta usando a forma ponto‐inclinação.

Passo 2

Seja u(x)=x^2+2x e y=raizu(x)=u(x)^1/2. Pela regra da cadeia,
dydx =12u(x)^-1/2cdot u'(x) =12raizu(x)cdot(2x+2) =2x+22raizx^2+2x =x+1raizx^2+2x

Passo 3

No ponto x=1 temos
y(1)=raiz1^2+2cdot1=raiz3, m=dydx|x=1 =1+1raiz1+2 =2raiz3

Passo 4

A forma ponto‐inclinação da reta tangente em (1,raiz3) é
y-raiz3 =2raiz3,(x-1)
Para passar a forma explícita, isolamos y:
y =2raiz3,x-2raiz3+raiz3 =2raiz3,x+l(raiz3-2raiz3r) =2raiz3,x+1raiz3

Resposta

A equação da reta tangente é
y-raiz3=2raiz3(x-1)
ou, de forma explícita,
y=2raiz3,x+1raiz3

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