Determine os limites, caso exista
\lim _{x \rightarrow 5}\left(4 x^{2}-5 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite, caso exista, da expressão
\lim_{x \rightarrow 5}\left(4x^{2}-5x\right).
Informações dadas: a função dentro do limite é f(x)=4x^{2}-5x e o ponto ao qual x se aproxima é x=5. A pergunta é: qual é o valor de \lim_{x\to5}\left(4x^{2}-5x\right), e esse limite existe?

Passo 2

Entendendo o que significa calcular este limite (em linguagem direta, sem formalismo seco): queremos saber qual valor os valores de 4x^{2}-5x tendem quando fazemos x ficar cada vez mais próximo de 5. Se, ao aproximar x de 5 por qualquer lado, a expressão se aproxima de um mesmo número L, dizemos que o limite existe e vale L.

Passo 3

Uma ferramenta prática que usamos em muitos exercícios é que operações algébricas simples preservam limites. Em particular valem as propriedades:
\lim_{x\to a} \big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot\lim_{x\to a} g(x),
\lim_{x\to a} \big(g(x)-h(x)\big)=\lim_{x\to a} g(x)-\lim_{x\to a} h(x),
\lim_{x\to a} \big(g(x)\cdot h(x)\big)=\lim_{x\to a} g(x)\cdot\lim_{x\to a} h(x),
desde que os limites à direita existam. Também usamos que \lim_{x\to a} x = a. Essas regras são muito úteis porque permitem reduzir o problema a limites básicos que já conhecemos.

Passo 4

Aplicando as regras ao nosso caso:
\lim_{x\to5}\left(4x^{2}-5x\right)=4\lim_{x\to5}x^{2}-5\lim_{x\to5}x.
Agora calculamos os limites simples: como \lim_{x\to5}x=5, temos
\lim_{x\to5}x^{2}=\big(\lim_{x\to5}x\big)^{2}=5^{2}=25.

Passo 5

Substituíndo esses valores na expressão do passo anterior:
4\lim_{x\to5}x^{2}-5\lim_{x\to5}x = 4\cdot 25 - 5\cdot 5.
Fazendo as contas passo a passo:
4\cdot 25 = 100,
5\cdot 5 = 25,
100-25 = 75.

Passo 6

Conclusão e comentário pedagógico: o limite existe e vale 75. Outra maneira curta de ver isso (que é o mesmo raciocínio em uma linha) é observar que 4x^{2}-5x é um polinômio; polinômios são contínuos em todo ponto, portanto \lim_{x\to5}(4x^{2}-5x)=4\cdot 5^{2}-5\cdot 5=75. Se ficar nervoso na prova: pense “posso substituir” sempre que a função for polinômio (ou for formada por operações contínuas).

Resposta

75

Exercícios relacionados