Seja f: I R uma função com derivada crescente (decrescente) no intervalo I de R. Prove que qualquer reta tangente ao gráfico de f só toca esse gráfico no ponto de tangência.

Passo 1

O enunciado diz que f:ItoR tem derivada monotonicamente crescente (ou decrescente) em I. Queremos mostrar que, se traçamos em x0in I a reta tangente ao gráfico de f, então essa reta não intersecta o gráfico em nenhum outro ponto além de (x0,f(x0)). O conteúdo teórico que vamos usar é o Teorema de Lagrange (MVT) e a monotonicidade de f' que caracteriza funções estritamente convexas (para f' crescente) ou estritamente côncavas (para f' decrescente).

Passo 2

A equação da reta tangente a f em x0 é
L(x)=f(x0)+f'(x0),(x-x0)
Tomemos agora um xin I, xneq x0. Aplicando o Teorema de Lagrange ao intervalo com extremidades x0 e x, existe c entre x0 e x tal que
f(x)-f(x0)=f'(c),(x-x0)

Passo 3

Suponha que f' seja crescente.
1. Se x>x0, então cin(x0,x) implica f'(c)>f'(x0) e x-x0>0. Logo
f(x)-f(x0)=f'(c),(x-x0)>f'(x0),(x-x0)Longrightarrow f(x)>L(x)
2. Se x<x0, então cin(x,x0) implica f'(c)<f'(x0) e x-x0<0. Assim
f(x)-f(x0)=f'(c),(x-x0)>f'(x0),(x-x0)Longrightarrow f(x)>L(x)
Em ambos os casos f(x)>L(x) para todo xneq x0, ou seja, o gr’afico de f fica sempre acima da reta tangente, tocando– a apenas em x0.

Passo 4

Se f' for decrescente, o mesmo racioc’inio leva a
f(x)-f(x0)=f'(c),(x-x0)<f'(x0),(x-x0)
para todo xneq x0, o que d’a f(x)<L(x). Ou seja, agora o gr’afico fica sempre abaixo da reta tangente, de novo tocando– a somente em x0.

Resposta

Qualquer reta tangente ao gráfico de f em x0 só o intersecta no ponto de tangência l(x0,f(x0)r).

Exercícios relacionados