Seja
uma função com derivada crescente (decrescente) no intervalo
de
. Prove que qualquer reta tangente ao gráfico de
só toca esse gráfico no ponto de tangência.
Passo 1
O enunciado diz que
tem derivada monotonicamente crescente (ou decrescente) em
. Queremos mostrar que, se traçamos em
a reta tangente ao gráfico de
, então essa reta não intersecta o gráfico em nenhum outro ponto além de
. O conteúdo teórico que vamos usar é o Teorema de Lagrange (MVT) e a monotonicidade de
que caracteriza funções estritamente convexas (para
crescente) ou estritamente côncavas (para
decrescente).
Passo 2
A equação da reta tangente a
em
é
Tomemos agora um
,
. Aplicando o Teorema de Lagrange ao intervalo com extremidades
e
, existe
entre
e
tal que
Passo 3
Suponha que
seja crescente.
. Se
, então
implica
e
. Logo
Em ambos os casos
para todo
, ou seja, o gr’afico de
fica sempre acima da reta tangente, tocando– a apenas em
.
Passo 4
Se
for decrescente, o mesmo racioc’inio leva a
para todo
, o que d’a
. Ou seja, agora o gr’afico fica sempre abaixo da reta tangente, de novo tocando– a somente em
.
Resposta
Qualquer reta tangente ao gráfico de
em
só o intersecta no ponto de tangência
.