1. (2,0) Determine as equações das retas tangente e normal à curva y=y(x) dada implicitamente por
x^{3} y^{2}+2 x+y+\sqrt{y}=2
no ponto P_{0}(0,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
x^{3}y^{2} + 2x + y + \sqrt{y} = 2
e pede as equações da reta tangente e da reta normal a essa curva no ponto P_{0}=(0,1). Vamos usar diferenciação implícita para achar \frac{dy}{dx} e daí obter as retas.

Passo 2

Para encontrar \frac{dy}{dx}, derivamos ambos os lados de
x^{3}y^{2} + 2x + y + \sqrt{y} = 2
em relação a x. As derivadas são:
\frac{d}{dx}(x^{3}y^{2}) = 3x^{2}y^{2} + x^{3}\cdot 2y\,\frac{dy}{dx},
\frac{d}{dx}(2x) = 2,
\frac{d}{dx}(y) = \frac{dy}{dx},
\frac{d}{dx}(\sqrt{y}) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\,\frac{dy}{dx}.
Somando e igualando a zero, fica
3x^{2}y^{2} + 2 \;+\;\Bigl(2x^{3}y + 1 + \frac{1}{2\sqrt{y}}\Bigr)\frac{dy}{dx} \;=\;0.

Passo 3

Isolando \frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{3x^{2}y^{2} + 2}{2x^{3}y + 1 + \frac{1}{2\sqrt{y}}}.

Passo 4

No ponto P_{0}=(0,1) temos
\text{numerador} = 3\cdot0^{2}\cdot1^{2} + 2 = 2, \qquad \text{denominador} = 2\cdot0^{3}\cdot1 + 1 + \tfrac{1}{2\cdot1} = \tfrac{3}{2},
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\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(0,1)} = -\,\frac{2}{\tfrac{3}{2}} = -\frac{4}{3}.

Passo 5

A reta tangente em (0,1) tem inclinação m_{\text{t}}=-\tfrac{4}{3} e obedece
y - 1 = -\frac{4}{3}\,(x - 0),
isto é,
y = -\frac{4}{3}\,x + 1.

Passo 6

A reta normal tem inclinação m_{\text{n}} = -\frac{1}{m_{\text{t}}} = \frac{3}{4} e, passando por (0,1), satisfaz
y - 1 = \frac{3}{4}\,(x - 0),
ou seja,
y = \frac{3}{4}\,x + 1.

Resposta

A reta tangente é
y = -\frac{4}{3}\,x + 1,
e a reta normal é
y = \frac{3}{4}\,x + 1.

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