Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\frac{\cos \left(x^{3}\right) e^{2 x}}{x^{4}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem de
f(x) = \frac{\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,e^{2x}}{x^{4}+1}.
Aqui vamos usar três ideias de cálculo diferencial:
  1. Regra do quociente:
\bigl(u/v\bigr)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}}.
  1. Regra do produto para u(x)=\cos(x^{3})\,e^{2x}.
  2. Regra da cadeia para derivar \cos(x^{3}) e e^{2x}.

Passo 2

Vamos definir
u(x) = \cos\bigl(x^{3}\bigr)\,e^{2x}, \qquad v(x) = x^{4}+1.
Primeiro, calculamos u'(x) usando produto e cadeia.
  • Derivada de e^{2x} é 2\,e^{2x}.
  • Derivada de \cos(x^{3}) é -\sin(x^{3})\cdot 3x^{2}.
    Aplicando produto:
u'(x) = \bigl(e^{2x}\bigr)'\cos(x^{3}) + e^{2x}\bigl(\cos(x^{3})\bigr)' = 2\,e^{2x}\cos(x^{3}) - 3x^{2}e^{2x}\sin(x^{3}).
Podemos fatorar e^{2x}:
u'(x)=e^{2x}\bigl(2\cos(x^{3}) - 3x^{2}\sin(x^{3})\bigr).

Passo 3

Calculamos v'(x). Como v(x)=x^{4}+1,
v'(x)=4x^{3}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} = \frac{e^{2x}\bigl(2\cos(x^{3}) - 3x^{2}\sin(x^{3})\bigr)\,(x^{4}+1) - \cos(x^{3})\,e^{2x}\,\bigl(4x^{3}\bigr)}{(x^{4}+1)^{2}}.
Podemos fatorar e^{2x} no numerador:
f'(x) = \frac{e^{2x}\Bigl[(2\cos(x^{3}) - 3x^{2}\sin(x^{3}))(x^{4}+1) - 4x^{3}\cos(x^{3})\Bigr]}{(x^{4}+1)^{2}}.

Resposta

f'(x) = \frac{e^{2x}\Bigl[(2\cos(x^{3}) - 3x^{2}\sin(x^{3}))(x^{4}+1) - 4x^{3}\cos(x^{3})\Bigr]}{(x^{4}+1)^{2}}.

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