1. (2,0) Suponha que x=x(t) seja uma função derivável até segunda ordem. Se y=x^{4}. Mostre que
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=12 x^{2}\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+4 x^{3} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}

Passo 1

O enunciado diz que x = x(t) é duas vezes derivável e define y = x^4. Precisamos encontrar \frac{d^2y}{dt^2} usando as regras de derivação: cadeia e produto.

Passo 2

Para obter \frac{dy}{dt}, aplicamos a regra da cadeia a y = x^4:
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(x^4) = 4\,x^3\,\frac{dx}{dt}.

Passo 3

Agora derivamos \frac{dy}{dt} = 4\,x^3\,\frac{dx}{dt} em relação a t, aplicando a regra do produto com
u(t) = 4\,x^3, \quad v(t) = \frac{dx}{dt}.
Então
\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}(u\,v) = \frac{du}{dt}\,v + u\,\frac{dv}{dt}.
Calculamos
\frac{du}{dt} = 12\,x^2\,\frac{dx}{dt}, \quad \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}.
Substituindo em \frac{d^2y}{dt^2}, vem
\frac{d^2y}{dt^2} = 12\,x^2\,\frac{dx}{dt}\,\frac{dx}{dt} + 4\,x^3\,\frac{d^2x}{dt^2} = 12\,x^2\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2 + 4\,x^3\,\frac{d^2x}{dt^2}.

Resposta

\frac{d^2y}{dt^2} = 12\,x^2\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2 + 4\,x^3\,\frac{d^2x}{dt^2}.

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