(2,0) Determine as equações das retas tangente e normal à curva y=y(x) dada implicitamente por
x^{3} y^{2}+2 x+y+\sqrt{y}=2
no ponto P_{0}(0,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
x^{3}y^{2} + 2x + y + \sqrt{y} = 2
e pede as equações da reta tangente e da reta normal em P_{0}(0,1). Para isso vamos usar diferenciação implícita para achar y'=\frac{dy}{dx}, depois avaliar em (0,1) para obter a inclinação da tangente, e enfim escrever as duas retas.

Passo 2

Defina
F(x,y) = x^{3}y^{2} + 2x + y + \sqrt{y} - 2 = 0.
Derivando em relação a x e lembrando que \dfrac{d}{dx}\bigl(\sqrt{y}\bigr)=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\,y', obtemos
3x^{2}y^{2} + \bigl(2x^{3}y + 1 + \tfrac{1}{2\sqrt{y}}\bigr)\,y' + 2 = 0.
Isolando y',
y' = -\frac{3x^{2}y^{2} + 2}{2x^{3}y + 1 + \tfrac{1}{2\sqrt{y}}}.

Passo 3

Em P_{0}(0,1) temos
\text{numerador} = 3\cdot0^{2}\cdot1^{2} + 2 = 2, \quad \text{denominador} = 2\cdot0^{3}\cdot1 + 1 + \tfrac{1}{2\cdot1} = 1 + \tfrac12 = \tfrac32,
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y'\bigl(0,1\bigr) = -\frac{2}{\tfrac32} = -\frac{4}{3}.

Passo 4

A reta tangente tem inclinação m_{t} = -\tfrac{4}{3} e passa por (0,1). Logo
y - 1 = -\tfrac{4}{3}\,(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y = 1 - \tfrac{4}{3}\,x.

Passo 5

A reta normal tem inclinação m_{n} = -\tfrac{1}{m_{t}} = \tfrac{3}{4} e também passa por (0,1). Assim
y - 1 = \tfrac{3}{4}\,x \quad\Longrightarrow\quad y = 1 + \tfrac{3}{4}\,x.

Resposta

A reta tangente em P_{0}(0,1) é
y = 1 - \frac{4}{3}\,x,
e a reta normal é
y = 1 + \frac{3}{4}\,x.

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