encontre valores de m para que y=x^{m} seja uma solução para cada equação diferencial.
x^{2} y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar valores de m tais que a função
y = x^{m}
seja solução da equação diferencial
x^{2}y'' + 6y' + 4y = 0.
O conteúdo aqui é testar uma “solução do tipo potência” e ver se surge uma condição em m.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y = x^{m}. Usando regras de potência em TeX:
y' = m\,x^{m-1},
y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.

Passo 3

Substituímos em
x^{2}y'' + 6y' + 4y = 0:
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] \;+\; 6\bigl[m\,x^{m-1}\bigr]\;+\;4\bigl[x^{m}\bigr] \;=\;0.
Isso é
m(m-1)x^{m} \;+\;6m\,x^{m-1}\;+\;4x^{m}=0.

Passo 4

Fatoramos x^{m-1}:
x^{m-1}\Bigl[(m(m-1)+4)x +6m\Bigr]=0.
Como x^{m-1}\neq0 (em x\neq0), resta exigir
(m(m-1)+4)x +6m = 0
para todo x.

Passo 5

Para que (m(m-1)+4)x +6m\) seja zero para todo \(x\), precisamos \[\begin{cases} m(m-1)+4 = 0,\\\\ 6m = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem m=0\], mas então \(m(m-1)+4 = 0\cdot(-1)+4=4\neq0. Não há solução simultânea.

Resposta

Não existe valor de m tal que y=x^{m} seja solução de x^{2}y''+6y'+4y=0.

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