Determine as equações das retas tangente e normal à curva de nível 12 da função
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva de nível 12 da função
no ponto
. Esse problema envolve o gradiente de
, pois
é normal à curva de nível e a reta tangente é perpendicular a
.
Passo 2
Calculemos o gradiente de
:
Passo 3
Verificamos que o ponto
pertence à curva de nível
porque
Avaliamo-lo no gradiente:
Passo 4
A reta normal passa por
e sua direção é dada por
. A inclinação dessa reta é
Logo sua equação, em forma ponto-inclinação, é
isto é
Passo 5
A reta tangente é perpendicular a
. Sejam
as componentes de sua direção; temos
Tomando
,
, a inclinação da tangente é
. Em forma ponto-inclinação:
ou seja
Resposta
Reta tangente:
Reta normal:
Reta normal: