Determine as equações das retas tangente e normal à curva de nível 12 da função f(x, y)=x^2+2 x y no ponto (2,2).

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva de nível 12 da função
f(x,y)=x^2+2xy
no ponto (2,2). Esse problema envolve o gradiente de f, pois nabla f é normal à curva de nível e a reta tangente é perpendicular a nabla f.

Passo 2

Calculemos o gradiente de f:
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) = (2x+2y,;2x)

Passo 3

Verificamos que o ponto (2,2) pertence à curva de nível f(x,y)=12 porque
f(2,2)=2^2+2cdot2cdot2=4+8=12
Avaliamo-lo no gradiente:
nabla f(2,2) = (2cdot2+2cdot2,;2cdot2) = (8,4)

Passo 4

A reta normal passa por (2,2) e sua direção é dada por nabla f(2,2)=(8,4). A inclinação dessa reta é
mnormal = 48 = tfrac12
Logo sua equação, em forma ponto-inclinação, é
y-2 = tfrac12,(x-2),
isto é
y = tfrac12,x + 1

Passo 5

A reta tangente é perpendicular a nabla f(2,2). Sejam (v1,v2) as componentes de sua direção; temos
(8,4)cdot(v1,v2) = 0 Longrightarrow 8v1 + 4v2 = 0 Longrightarrow v2 = -2v1
Tomando v1=1, v2=-2, a inclinação da tangente é -2. Em forma ponto-inclinação:
y-2 = -2,(x-2),
ou seja
y = -2x + 6

Resposta

Reta tangente: y = -2x + 6
Reta normal: y = tfrac12,x + 1

Exercícios relacionados