Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de integração por partes, verificar:.
integral e^2 x(cos (3 x)+sen(5 x)) d x=e^2 x[2 cos (3 x)+3 sen(3 x)13+2 sen(5 x)-5 cos (5 x)29]+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando integração por partes ou diferenciação, que
integral e^2xl(cos(3x)+sin(5x)r),dx = e^2xl[tfrac2cos(3x)+3sin(3x)13+tfrac2sin(5x)-5cos(5x)29r]+C
O conteúdo aqui é a aplicação de integração por partes em cada parcela do tipo integral e^axcos(bx),dx e integral e^axsin(bx),dx.

Passo 2

Calcular I1=integral e^2xcos(3x),dx por partes.
Escolhemos
u=e^2x, dv=cos(3x),dx
então
du=2e^2x,dx, v=tfrac13sin(3x)
Aplicando partes:
I1 =underbracee^2xcdottfracsin(3x)3u,v -integral tfracsin(3x)3cdot 2e^2x,dx =tfrace^2xsin(3x)3-tfrac23integral e^2xsin(3x),dx
Chamemos J1=integral e^2xsin(3x),dx.

Passo 3

Agora integrar J1 por partes:
u=e^2x, dv=sin(3x),dx Longrightarrow du=2e^2x,dx, v=-tfrac13cos(3x)
Logo
J1 =e^2xl(-tfraccos(3x)3r) -integrall(-tfraccos(3x)3r)2e^2x,dx =-tfrace^2xcos(3x)3+tfrac23I1
Substituindo J1 em I1:
I1 =tfrace^2xsin(3x)3-tfrac23l(-tfrace^2xcos(3x)3+tfrac23I1r) =tfrace^2xsin(3x)3+tfrac2e^2xcos(3x)9-tfrac49I1
Reorganizando:
I1+tfrac49I1 =tfrace^2x9l(3sin(3x)+2cos(3x)r) Longrightarrow I1l(tfrac139r) =tfrace^2x9l(3sin(3x)+2cos(3x)r)
Portanto
I1 =tfrace^2x13l(3sin(3x)+2cos(3x)r) =e^2x,2cos(3x)+3sin(3x)13

Passo 4

Calcular I2=integral e^2xsin(5x),dx de modo análogo.
Aplicando as fórmulas padrão (ou repetindo partes duas vezes), obtém-se
I2 =e^2x,2sin(5x)-5cos(5x)2^2+5^2 =e^2x,2sin(5x)-5cos(5x)29

Passo 5

Somando as duas integrais,
integral e^2xl(cos(3x)+sin(5x)r),dx =I1+I2 =e^2xl[tfrac2cos(3x)+3sin(3x)13+tfrac2sin(5x)-5cos(5x)29r]+C,
que coincide exatamente com a fórmula dada.

Resposta

A igualdade é válida.

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