Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de integração por partes, verificar:.
Usando o método de integração por partes, verificar:.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando integração por partes ou diferenciação, que
O conteúdo aqui é a aplicação de integração por partes em cada parcela do tipo
e
.
Passo 2
Calcular
por partes.
Escolhemos
Escolhemos
então
Aplicando partes:
Chamemos
J1=integral e^2xsin(3x),dx .
Passo 3
Agora integrar
J1 por partes:
Logo
Substituindo
J1 em
I1 :
Reorganizando:
Portanto
Passo 4
Calcular
I2=integral e^2xsin(5x),dx de modo análogo.
Aplicando as fórmulas padrão (ou repetindo partes duas vezes), obtém-se
Aplicando as fórmulas padrão (ou repetindo partes duas vezes), obtém-se
Passo 5
Somando as duas integrais,
que coincide exatamente com a fórmula dada.
Resposta
A igualdade é válida.