Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
integral x^2 d x(16-x^2)^2=xraiz16-x^2-arcsen(x4)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
integral x^2,dx(16 - x^2)^2 = xraiz16 - x^2 - arcsin!l(x4r) + C
é uma identidade verdadeira. Vamos checar por derivação, calculando
F(x)=xraiz16 - x^2-arcsin!l(tfracx4r)
e vendo se F'(x)=dfracx^2(16 - x^2)^2.

Passo 2

Calcular ddx!l(xraiz16 - x^2r) usando regra do produto e cadeia:
ddxl[x,(16-x^2)^-tfrac12r] = (16-x^2)^-tfrac12 + xcdotl(-tfrac12r)(16-x^2)^-tfrac32cdot(-2x)
= (16-x^2)^-tfrac12 + x^2,(16-x^2)^-tfrac32

Passo 3

Calcular ddx!l(-arcsin!l(tfracx4r)r) pela cadeia:
ddxl(-arcsin!tfracx4r) = -1raiz1-(x/4)^2cdot14 = -14,raiz16-x^216 = -1raiz16-x^2

Passo 4

Somando as duas derivadas:
F'(x) = l(16-x^2r)^-tfrac12 + x^2,(16-x^2)^-tfrac32 -l(16-x^2r)^-tfrac12 = x^2,(16-x^2)^-tfrac32 = x^2(16 - x^2)^3/2

Passo 5

O integrando original é x^2(16 - x^2)^2, mas a derivada que encontramos é
x^2(16 - x^2)^3/2. Como
(16 - x^2)^-3/2neq(16 - x^2)^-2,
a igualdade proposta não é válida.

Resposta

A igualdade não é válida.

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