Determine as equações das retas tangente e normal à curva y=raizcubicadeur, u=(x-1)/(x+1) em x=0

Passo 1

O enunciado pede as retas tangente e normal à curva y=raiz[3]u com u=x-1x+1 em x=0. Vamos usar regra da cadeia para derivar y=raiz[3]u e regra do quociente para derivar u(x).

Passo 2

Em x=0 temos u(0)=0-10+1=-1 e portanto y(0)=raiz[3]-1=-1. O ponto de tangência é (0,-1).

Passo 3

Derivando primeiro u(x)=x-1x+1 pela regra do quociente: u' = (x+1)-(x-1)(x+1)^2=2(x+1)^2 Pela regra da cadeia,
y' = dyducdot u' = 13u^-2/3cdot 2(x+1)^2 = 23(x+1)^2,u^-2/3 Avaliando em x=0: u=-1 implica u^-2/3=1, logo y'(0)=23

Passo 4

A reta tangente em (0,-1) tem coeficiente mt=tfrac23, então
y+1=tfrac23x A reta normal é perpendicular, com coeficiente mn=-tfrac1mt=-tfrac32, então
y+1=-tfrac32x

Resposta

Reta tangente: y+1=tfrac23x. Reta normal: y+1=-tfrac32x.

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