Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
Passo 1
Então, a gente tem a função $ f(u) = (u^{2} + 1)^{10} $ e precisa encontrar a derivada dela. Isso está na área de Cálculo, mais especificamente no estudo de derivadas. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação à variável. No nosso caso, queremos saber como $ f(u) $ muda conforme $ u $ muda.
Passo 3
Agora, vamos identificar as partes da nossa função que são compostas. Temos uma função elevada à potência 10, e dentro dela, temos $ u^{2} + 1 $. Isso significa que nossa função é uma composição de duas funções: uma externa $ (x)^{10} $ e uma interna $ u^{2} + 1 $.
Passo 4
Para derivar uma função composta como essa, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada da função externa, avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 5
Vamos aplicar isso passo a passo:
- Derivada da função externa $ (x)^{10} $ em relação a $ x $ é $ 10x^{9} $.
- Agora, substituímos $ x $ pela nossa função interna $ u^{2} + 1 $, ficando $ 10(u^{2} + 1)^{9} $.
- Em seguida, derivamos a função interna $ u^{2} + 1 $ em relação a $ u $, que é $ 2u $.
Passo 6
Finalmente, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada de $ f(u) = (u^{2} + 1)^{10} $ é $ f’(u) = 20u(u^{2} + 1)^{9} $.