Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
f(u)=(u^wed>= 2+1)^wed>= 10

Passo 1

Então, a gente tem a função $ f(u) = (u^{2} + 1)^{10} $ e precisa encontrar a derivada dela. Isso está na área de Cálculo, mais especificamente no estudo de derivadas. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação à variável. No nosso caso, queremos saber como $ f(u) $ muda conforme $ u $ muda.

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes da nossa função que são compostas. Temos uma função elevada à potência 10, e dentro dela, temos $ u^{2} + 1 $. Isso significa que nossa função é uma composição de duas funções: uma externa $ (x)^{10} $ e uma interna $ u^{2} + 1 $.

Passo 4

Para derivar uma função composta como essa, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada da função externa, avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 5

Vamos aplicar isso passo a passo:
  1. Derivada da função externa $ (x)^{10} $ em relação a $ x $ é $ 10x^{9} $.
  2. Agora, substituímos $ x $ pela nossa função interna $ u^{2} + 1 $, ficando $ 10(u^{2} + 1)^{9} $.
  3. Em seguida, derivamos a função interna $ u^{2} + 1 $ em relação a $ u $, que é $ 2u $.

Passo 6

Finalmente, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
f'(u) = 10(u^2 + 1)^9 times 2u

Passo 7

Simplificando a expressão:
f'(u) = 20u(u^2 + 1)^9

Resposta

A derivada de $ f(u) = (u^{2} + 1)^{10} $ é $ f’(u) = 20u(u^{2} + 1)^{9} $.

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