Determine as equações das retas tangentes aos g:áficos das funçcoes abaixo, nos pontos indicados:
ba(x)=x^4-2 x^3+x^2+x-1 no ponto x=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo diferencial! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ b_a(x) = x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + x - 1 $ no ponto onde $ x = 1 $. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente nesse ponto e também descobrir o valor da função quando $ x = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ b_a(1) $. Isso significa substituir $ x $ por 1 na função:
ba(1)
Resolvendo isso:
x
Então, o ponto de tangência é $ (1, 0) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ b_a(x) $, que nos dá a inclinação da reta tangente. A derivada de uma função $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
ba(x)
Vamos derivar $ b_a(x) $:
f(x)
Calculando cada termo:
x

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto $ x = 1 $ para encontrar a inclinação da reta tangente:
x = 1
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Com a inclinação $ m = 1 $ e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto $ (1, 0) $, podemos usar a fórmula da reta:
m = 1
Substituindo os valores:
(1, 0)
Simplificando:
y - y0 = m(x - x0)

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = x - 1 $.

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