Determine as equações das retas tangentes aos g:áficos das funçcoes abaixo, nos pontos indicados:
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo diferencial! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ b_a(x) = x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + x - 1 $ no ponto onde $ x = 1 $. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente nesse ponto e também descobrir o valor da função quando $ x = 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ b_a(1) $. Isso significa substituir $ x $ por 1 na função:
Resolvendo isso:
Então, o ponto de tangência é $ (1, 0) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ b_a(x) $, que nos dá a inclinação da reta tangente. A derivada de uma função $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
Vamos derivar $ b_a(x) $:
Calculando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto $ x = 1 $ para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.
Passo 5
Com a inclinação $ m = 1 $ e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto $ (1, 0) $, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = x - 1 $.