Questão Considerando a função a(x)=x^2-2 x-1. determine utilizando a definição, via limite, a derivada do a(x) no ponto x=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função $ a(x) = x^{2} - 2x - 1 $ e precisa encontrar a derivada dela no ponto $ x = -1 $ usando a definição de derivada via limite. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde a derivada nos dá a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Vamos precisar usar a fórmula do limite para derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função $ f(x) $ no ponto $ x = c $. A derivada $ f’© $ é dada por:
f(x)
Nesse caso, nossa função é $ a(x) = x^{2} - 2x - 1 $ e queremos calcular a derivada no ponto $ x = -1 $. Então, vamos substituir $ f $ por $ a $ e $ c $ por $ -1 $.

Passo 3

Vamos substituir na fórmula:
a'(-1) = limh to 0 a(-1 + h) - a(-1)h
Agora, precisamos calcular $ a(-1 + h) $ e $ a(-1) $.

Passo 4

Calculando $ a(-1 + h) $:
a(-1 + h)
a(-1 + h) = (-1 + h)^2 - 2(-1 + h) - 1
= (1 - 2h + h^2) + 2 - 2h - 1
= 1 - 2h + h^2 + 2 - 2h - 1
Calculando $ a(-1) $:
= h^2 - 4h + 2

Passo 5

Agora, substituímos de volta na fórmula da derivada:
a'(-1) = limh to 0 (h^2 - 4h + 2) - 2h
= limh to 0 h^2 - 4hh
= limh to 0 h(h - 4)h

Passo 6

Podemos simplificar cortando o $ h $ que está no numerador e no denominador:
h
Agora, basta substituir $ h $ por 0:
= limh to 0 (h - 4)

Resposta

A derivada de $ a(x) = x^{2} - 2x - 1 $ no ponto $ x = -1 $ é $ a’(-1) = -4 $.

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