Questão Considerando a função
. determine utilizando a definição, via limite, a derivada do
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função $ a(x) = x^{2} - 2x - 1 $ e precisa encontrar a derivada dela no ponto $ x = -1 $ usando a definição de derivada via limite. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde a derivada nos dá a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Vamos precisar usar a fórmula do limite para derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função $ f(x) $ no ponto $ x = c $. A derivada $ f’© $ é dada por:
Nesse caso, nossa função é $ a(x) = x^{2} - 2x - 1 $ e queremos calcular a derivada no ponto $ x = -1 $. Então, vamos substituir $ f $ por $ a $ e $ c $ por $ -1 $.
Passo 3
Vamos substituir na fórmula:
Agora, precisamos calcular $ a(-1 + h) $ e $ a(-1) $.
Passo 4
Calculando $ a(-1 + h) $:
Calculando $ a(-1) $:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na fórmula da derivada:
Passo 6
Podemos simplificar cortando o $ h $ que está no numerador e no denominador:
Agora, basta substituir $ h $ por 0:
Resposta
A derivada de $ a(x) = x^{2} - 2x - 1 $ no ponto $ x = -1 $ é $ a’(-1) = -4 $.