Determine as equações das retas tangentes aos gráficos das funções abaixo, nos pontos indicados:
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangentes ao gráfico da função $ b_b(x) = 4 \cos^{2}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) $ no ponto onde $ x = \frac{5\pi}{6} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para achar a inclinação da reta tangente, e depois usar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de $ b_b(x) $ quando $ x = \frac{5\pi}{6} $, assim sabemos exatamente qual é o ponto no gráfico onde a reta vai tocar.
Sabemos que $ \cos(\pi) = -1 $, então:
Então, o ponto de tangência é $ \left(\frac{5\pi}{6}, 4\right) $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de $ b_b(x) $, que nos dá a inclinação da reta tangente no ponto desejado.
A função é:
Para derivar isso, podemos usar a regra da cadeia. Primeiro, lembrando que a derivada de $ \cos^{2}(u) $ em relação a $ u $ é:
Então, aplicando a regra da cadeia para $ u = x + \frac{\pi}{6} $:
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica $ \sin(2u) = 2 \sin(u) \cos(u) $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada no ponto $ x = \frac{5\pi}{6} $ para encontrar a inclinação da reta tangente.
Sabemos que $ \sin(2\pi) = 0 $, então:
A inclinação da reta tangente é 0, o que significa que a reta é horizontal.
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = 4 $.