Determine as equações das retas tangentes aos gráficos das funções abaixo, nos pontos indicados:
no ponto
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: Precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ b_a(x) = -x^{4} + 2x^{3} - x^{2} + x - 5 $ no ponto onde $ x = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas para encontrar a inclinação da tangente e depois usar a fórmula da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto $ x = 1 $. Isso nos dará as coordenadas do ponto de tangência.
Calculando cada termo:
Portanto, o ponto de tangência é $ (1, -4) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ b_a(x) $. A derivada nos dará a inclinação da reta tangente naquele ponto.
A derivada de $ b_a(x) $ é:
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto $ x = 1 $ para encontrar a inclinação da reta tangente.
Então, a inclinação da reta tangente é $ m = 1 $.
Passo 5
Com a inclinação $ m = 1 $ e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto $ (1, -4) $, podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = x - 5 $.