Calcule os limites.
lim x +infty (2 x+3)^3(2-3 x)^2x^5+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto +infty (2x+3)^3,(2-3x)^2x^5+5. Isso envolve limites de funções racionais e dominância de termos de maior grau.

Passo 2

Para lidar com esse tipo de limite, vamos fatorar o maior grau de x em numerador e denominador. Repare que (2x+3)^3 tem grau 3 e (2-3x)^2 tem grau 2, então o numerador é grau 5. Podemos escrever:
(2x+3)^3 = (2x)^3 (1 + 32x)^3 = 8x^3(1 + 32x)^3
(2-3x)^2 = (-3x)^2(1 - 23x)^2 = 9x^2(1 - 23x)^2
x^5+5 = x^5(1 + 5x^5)

Passo 3

Reunindo tudo:
(2x+3)^3(2-3x)^2x^5+5 = 8x^3(1 + 32x)^3 cdot 9x^2(1 - 23x)^2x^5(1 + 5x^5) = 72 cdot (1 + 32x)^3(1 - 23x)^21 + 5x^5

Passo 4

Quando xto +infty, temos 32xto0, 23xto0 e 5x^5to0. Logo,
$$\lim_{x\to +\infty} \frac{\left(1 + \frac{3}{2x}\right)^3\left(1 - \frac{2}{3x}\right)^2}{1 + \frac{5}{x^5}} = 1
$$

Passo 5

Multiplicando pelo 72 que ficou de fora, concluímos que o limite vale 72.

Resposta

72

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