Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(1,3,0) e é paralela ao vetor \mathrm{v}=(3,4,-1).

Passo 1

O enunciado pede as equações simétricas da reta que passa por A(1,3,0) e é paralela ao vetor \mathrm{v}=(3,4,-1). Isso envolve o conteúdo de geometria analítica no espaço: para uma reta, basta um ponto e um vetor diretor, e podemos usar a forma paramétrica e daí chegar à forma simétrica.

Passo 2

Vamos montar primeiro a forma paramétrica. Se P(x,y,z) é um ponto genérico da reta e t o parâmetro, então
\vec{AP} = t\,\mathrm{v}
ou seja, em coordenadas:
(x-1,\,y-3,\,z-0) = t\,(3,\,4,\,-1).
Isso dá as equações
\begin{cases} x-1 = 3t,\\\ y-3 = 4t,\\\ z = -\,t. \end{cases}

Passo 3

Para obter as equações simétricas, isolamos t em cada uma delas:
t = \frac{x-1}{3},\quad t = \frac{y-3}{4},\quad t = -\,z.
Logo, igualando essas três expressões, chegamos a
\frac{x-1}{3} \;=\;\frac{y-3}{4}\;=\;-\,z.

Resposta

\frac{x-1}{3} \;=\;\frac{y-3}{4}\;=\;\frac{z-0}{-1}.

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