Questão 19. Dados \varphi=\left\{1+t+t^{2}+t^{3}, 4+3 t+2 t^{2}+t^{3}, 4+2 t+t^{2}, 4+4 t+2 t^{2}+t^{3}\right\} \subset P_{3}, v=1-2 t e w_{\varphi}=(1,1,1,1).
(a) Mostre que \varphi é uma base de P_{3}.
(b) Determine v_{\varphi}.
(c) Ache w.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
\varphi=\{\,p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\}\subset P_{3},
com
p_{1}=1+t+t^{2}+t^{3},\quad p_{2}=4+3t+2t^{2}+t^{3},\quad p_{3}=4+2t+t^{2},\quad p_{4}=4+4t+2t^{2}+t^{3},
o polinômio v=1-2t e o vetor de coordenadas w_{\varphi}=(1,1,1,1).
Precisamos:
(a) mostrar que \varphi é base de P_{3};
(b) encontrar v_{\varphi}, as coordenadas de v em \varphi;
(c) determinar o polinômio w cuja coordenada em \varphi é (1,1,1,1).

Passo 2

Para mostrar que \varphi é base, basta ver que seus 4 vetores são L.I. em espaço de dimensão 4. Escrevemos a matriz cujas colunas são as coordenadas de p_{i} no sistema padrão \{1,t,t^{2},t^{3}\}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 & 4\\\\ 1 & 3 & 2 & 4\\\\ 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos \det A. Subtraindo a primeira linha das demais obtemos o menor
\det A =1\cdot \begin{vmatrix} -1 & -2 & 0\\\\ -2 & -3 & -2\\\\ -3 & -4 & -3 \end{vmatrix} \;=\;1\bigl[( -1)\cdot((-3)(-3)-(-2)(-4))\bigr] =-1\neq0.
Logo \{p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\} é L.I. e, por ter 4 vetores em P_{3} de dimensão 4, é base.

Passo 3

Para achar v_{\varphi}=(c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}) resolvemos
c_{1}p_{1}+c_{2}p_{2}+c_{3}p_{3}+c_{4}p_{4} =1-2t.
Em coordenadas padrão isto dá o sistema
\begin{cases} c_{1}+4c_{2}+4c_{3}+4c_{4}=1,\\\ c_{1}+3c_{2}+2c_{3}+4c_{4}=-2,\\\ c_{1}+2c_{2}+c_{3}+2c_{4}=0,\\\ c_{1}+c_{2}+0\cdot c_{3}+c_{4}=0. \end{cases}
Subtraindo a última equação das anteriores e resolvendo obtemos
c_{1}=1,\quad c_{2}=1,\quad c_{3}=1,\quad c_{4}=-2.
Portanto
v_{\varphi}=(1,1,1,-2).

Passo 4

Para achar w tal que w_{\varphi}=(1,1,1,1), basta fazer
w=p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}.
Somando coeficientes de 1,t,t^{2},t^{3}
w=(1+4+4+4)\;+\;(1+3+2+4)\,t\;+\;(1+2+1+2)\,t^{2}\;+\;(1+1+0+1)\,t^{3},
ou seja
w=13+10t+6t^{2}+3t^{3}.

Resposta

(a) \varphi é base de P_{3} porque a matriz de coord. tem determinante -1 \neq 0.
(b) v_{\varphi} = (1,1,1,-2).
(c) w = 13 + 10t + 6t^{2} + 3t^{3}.

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