Obter as equações simétricas da reta que passa pelos pontos A(1,3,2) e B(5,2,2).

Passo 1

O enunciado pede as equações simétricas da reta que passa pelos pontos A(1,3,2) e B(5,2,2). O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: vamos precisar obter o vetor diretor da reta e então escrever primeiro a forma paramétrica e, a partir dela, a forma simétrica.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor \mathbf{v} subtraindo as coordenadas de A das de B:
\mathbf{v} = B - A = (5-1,\;2-3,\;2-2) = (4,\,-1,\,0).

Passo 3

A partir de \mathbf{v} = (4,-1,0)\) e do ponto \(A(1,3,2)\), a forma paramétrica da reta é \[\begin{cases} x = 1 + 4t,\\\ y = 3 - t,\\\ z = 2 + 0\cdot t, \end{cases}
onde t\in\mathbb{R}\]. Observe que \(z é constante igual a 2.

Passo 4

Para obter as equações simétricas, isolamos t em x e em y. De x = 1 + 4t vem t = \frac{x-1}{4}, e de y = 3 - t vem t = \frac{y-3}{-1}. Como z não depende de t, mantemos z=2. Assim,
\frac{x-1}{4} = \frac{y-3}{-1},\qquad z = 2.

Resposta

\displaystyle \frac{x-1}{4} = \frac{y-3}{-1},\quad z = 2.

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