A reta r passa pelo ponto P(1,2,0) e tem a direção do vetor v =3 \mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k}. Determinar as equações reduzidas de r (com variável independente x).

Passo 1

O enunciado nos dá uma reta r em \mathbb{R}^3 que passa por P(1,2,0) e tem direção dada pelo vetor v = 3\,\mathbf{i} + 1\,\mathbf{j} - 1\,\mathbf{k}. Para achar as equações reduzidas com variável independente x, primeiro vamos escrever a forma paramétrica da reta e depois eliminar o parâmetro.

Passo 2

A equação vetorial da reta é
(x,y,z) = (1,2,0) + t\,(3,1,-1).
Isso gera as equações paramétricas
x = 1 + 3t, \quad y = 2 + t, \quad z = 0 - t.

Passo 3

Isolando o parâmetro t a partir de x = 1 + 3t, temos
t = \frac{x - 1}{3}.
Substituindo em y e em z, obtemos
y = 2 + \frac{x - 1}{3}, \quad z = -\,\frac{x - 1}{3}.

Resposta

As equações reduzidas da reta são
y = 2 + \frac{x - 1}{3},
z = -\frac{x - 1}{3}.

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