Determine as equações de todas as retas tangentes à curva
que tenham o coeficiente angular -1
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar todas as equações das retas que são tangentes à curva
e que têm um coeficiente angular igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes a uma curva em qualquer ponto.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da curva. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, sabemos que queremos que o coeficiente angular da reta tangente seja
. Então, vamos igualar a derivada a
e resolver para
:
Passo 4
Simplificando a equação acima, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Isso nos dá duas soluções para
:
Passo 6
Com os valores de
encontrados, vamos determinar os correspondentes valores de
usando a equação original da curva
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, temos os pontos de tangência:
e
. Sabemos que a reta tangente tem coeficiente angular
. Vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
onde
é a inclinação e
é o ponto de tangência.
Passo 8
Aplicando para o ponto
:
Para o ponto
:
Resposta
As equações das retas tangentes à curva
com coeficiente angular
são: