Determine as equações de todas as retas tangentes à curva y=1 / x-1 que tenham o coeficiente angular -1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar todas as equações das retas que são tangentes à curva e que têm um coeficiente angular igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes a uma curva em qualquer ponto.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada da função dydx = -1(x - 1)^2 . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, sabemos que queremos que o coeficiente angular da reta tangente seja -1(x - 1)^2 = -1 . Então, vamos igualar a derivada a e resolver para :

Passo 4

Simplificando a equação acima, multiplicamos ambos os lados por 1 = (x - 1)^2 :

Passo 5

Agora, resolvemos para (x - 1)^2 = 1 x - 1 = pm 1 :
x = 1 + 1 = 2 e x = 1 - 1 = 0
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 6

Com os valores de y = 12 - 1 = 1 encontrados, vamos determinar os correspondentes valores de y = 10 - 1 = -1 usando a equação original da curva :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, temos os pontos de tangência: y - y1 = m(x - x1) e . Sabemos que a reta tangente tem coeficiente angular . Vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
onde é a inclinação e é o ponto de tangência.

Passo 8

Aplicando para o ponto y - 1 = -1(x - 2) y - 1 = -x + 2 y = -x + 3 :
y - (-1) = -1(x - 0) y + 1 = -x y = -x - 1
Para o ponto :

Resposta

As equações das retas tangentes à curva y = -x + 3 e y = -x - 1 com coeficiente angular são:

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