Determine y^prime sabendo que y=f(x) é definida implicitamente pela equação:
x^2 y^4-y+x^4=1

Passo 1

Temos a equação implícita x^2 y^4 - y + x^4 = 1. O conteúdo envolve diferenciação implícita: vamos usar a regra do produto para x^2 y^4, a regra da cadeia para y^4 e lembrar que ao derivar y em relação a x aparece y'=tfracdydx.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, fica:
ddx(x^2 y^4) - ddx(y) + ddx(x^4) = ddx(1)
Agora, calculando termo a termo:
  • ddx(x^2 y^4) = 2xcdot y^4 + x^2cdot 4y^3 y' usando produto e cadeia.
  • ddx(y) = y'
  • ddx(x^4) = 4x^3.

Passo 3

Substituindo na equação, obtemos:
2x y^4 + 4x^2 y^3 y' - y' + 4x^3 = 0
Reagrupando os termos que têm y' em um lado e os demais no outro:
(4x^2 y^3 - 1),y' + 2x y^4 + 4x^3 = 0
Isolando y':
(4x^2 y^3 - 1),y' = -2x y^4 - 4x^3

Resposta

y'=-2x y^4 - 4x^34x^2 y^3 - 1

Exercícios relacionados