Determine as equações dos traços nos planos coordenados e esboce os traços em um sistema de coordenadas cartesianas.
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{4}=1

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádrupla
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{4}=1
e pede os traços nos planos coordenados. Para cada traço basta anular uma das variáveis e estudar a curva resultante no respectivo plano.

Passo 2

Traço no plano z=0. Substituindo z=0 na equação da superfície, vem
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1.
Isto é uma elipse com semi-eixos a=3 (eixo x) e b=4 (eixo y). No plano xy os interceptos são (\pm3,0,0) e (0,\pm4,0).

Passo 3

Traço no plano y=0. Colocando y=0 na equação, obtemos
\frac{x^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{4}=1.
É uma hipérbole no plano xz com eixo transverso ao longo de x. Os vértices ficam em (\pm3,0,0) e as assíntotas são as retas
z=\pm\frac{2}{3}\,x.

Passo 4

Traço no plano x=0. Substituindo x=0
\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{4}=1.
É outra hipérbole, agora no plano yz, com eixo transverso ao longo de y. Vértices em (0,\pm4,0) e assíntotas
z=\pm\frac{1}{2}\,y.

Resposta

Traço em z=0:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1
(elipse com semi-eixos 3 e 4).
Traço em y=0:
\frac{x^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{4}=1
(hipérbole no plano xz, assíntotas z=\pm\frac{2}{3}x).
Traço em x=0:
\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{4}=1
(hipérbole no plano yz, assíntotas z=\pm\tfrac12y).

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