Seja P=(4,1) um ponto externo à elipse
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1
Determine as equações vetoriais das duas retas que passam pelo ponto P e são tangentes à elipse. Além disso, indique os dois pontos de tangência.

Passo 1

O enunciado pede as retas tangentes à elipse
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1
que passam pelo ponto externo P=(4,1), além de indicar os pontos de tangência.
Conteúdo: geometria analítica de elipse e condição de tangência via discriminante de interseção.

Passo 2

Vamos escrever a equação geral de uma reta passando por P com coeficiente angular m:
y-1 = m\,(x-4).
Para achar os pontos de interseção com a elipse substituímos y = m(x-4)+1 em
\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1.
Isso gera uma equação quadrática em x. A condição de tangência é que o discriminante dessa quadrática seja zero.

Passo 3

Substituindo e multiplicando tudo por 4 obtemos
(1+4m^{2})\,x^{2} + (8m-32m^{2})\,x + (64m^{2}-32m)=0.
O discriminante é
\Delta = (8m-32m^{2})^{2} -4(1+4m^{2})(64m^{2}-32m),
e ao simplificar chega-se a
\Delta = 64m(-3m+2)=0.
Logo os valores de m são
m=0 \quad\text{ou}\quad m=\frac{2}{3}.

Passo 4

Para cada m escrevemos a forma vetorial da reta:
1. Se m=0, a reta é horizontal y=1. Em forma vetorial:
\mathbf{r}(t) = (4,1) + t\,(1,0).
2. Se m=\tfrac{2}{3}, a reta é y-1=\tfrac{2}{3}(x-4). Uma direção inteira é (3,2), logo
\mathbf{r}(t) = (4,1) + t\,(3,2).

Passo 5

Agora achamos o ponto de tangência em cada caso:
  • Para y=1, na elipse \tfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 x=0. Ponto de tangência (0,1).
  • Para m=\tfrac{2}{3}, substituímos y=\tfrac{2}{3}x-\tfrac{5}{3} em \tfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 e obtemos uma equação com \Delta=0, cujo único x é x=\tfrac{8}{5}. Então
y = \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{5} - \frac{5}{3} = -\frac{3}{5}.
Ponto de tangência \bigl(\tfrac{8}{5}, -\tfrac{3}{5}\bigr).

Resposta

As retas tangentes em forma vetorial são:
\mathbf{r}_{1}(t) = (4,1) + t\,(1,0), \quad \mathbf{r}_{2}(t) = (4,1) + t\,(3,2).
Os pontos de tangência são (0,1) e \bigl(\tfrac{8}{5},-\tfrac{3}{5}\bigr).

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