Seja
um ponto externo à elipse
Determine as equações vetoriais das duas retas que passam pelo ponto
e são tangentes à elipse. Além disso, indique os dois pontos de tangência.
Passo 1
O enunciado pede as retas tangentes à elipse
que passam pelo ponto externo
, além de indicar os pontos de tangência.
Conteúdo: geometria analítica de elipse e condição de tangência via discriminante de interseção.
Conteúdo: geometria analítica de elipse e condição de tangência via discriminante de interseção.
Passo 2
Vamos escrever a equação geral de uma reta passando por
com coeficiente angular
:
Para achar os pontos de interseção com a elipse substituímos
em
Isso gera uma equação quadrática em
. A condição de tangência é que o discriminante dessa quadrática seja zero.
Passo 3
Substituindo e multiplicando tudo por
obtemos
O discriminante é
e ao simplificar chega-se a
Logo os valores de
são
Passo 4
Para cada
escrevemos a forma vetorial da reta:
. Se
, a reta é horizontal
. Em forma vetorial:
Passo 5
Agora achamos o ponto de tangência em cada caso:
- Para
, na elipse dá . Ponto de tangência . - Para
, substituímos em e obtemos uma equação com , cujo único é . Então
Ponto de tangência
.
Resposta
As retas tangentes em forma vetorial são:
Os pontos de tangência são
e
.