Determine as equações vetorial e paramétricas da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à reta dada. e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as equações vetorial e paramétricas de uma reta que passa pelo ponto (1, 2) e que é perpendicular à reta dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como o cálculo de coeficientes angulares e a formulação de equações de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o coeficiente angular da reta que já foi dada, . Para isso, vamos rearranjar a equação para a forma , onde é o coeficiente angular.
Então, o coeficiente angular dessa reta é .
Passo 3
Agora, como queremos uma reta que seja perpendicular à reta dada, precisamos encontrar o coeficiente angular dessa nova reta. Sabemos que, para retas perpendiculares, os coeficientes angulares são negativos recíprocos. Ou seja, se o coeficiente angular da primeira reta é , o da reta perpendicular será:
Passo 4
Com o coeficiente angular e sabendo que a reta passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo , e :
Simplificando para encontrar a equação na forma :
Passo 5
Agora, vamos escrever as equações vetorial e paramétrica dessa reta.
Equação Vetorial:
Uma equação vetorial de reta pode ser escrita como:
Onde é o vetor posição do ponto dado e é o vetor diretor da reta, que pode ser derivado do coeficiente angular .
Sabendo que o coeficiente angular , podemos escolher e , então:
Então, a equação vetorial fica:
r = 1 2 + t 2 1
Equação Paramétrica:
A partir da equação vetorial, podemos extrair as equações paramétricas separadamente para x e y:
x = 1 + 2t
y = 2 + t
Resposta
As equações vetorial e paramétrica da reta perpendicular à reta 2x + y = 3 que passa pelo ponto (1,,2) são: