Determine as equações vetorial e paramétricas da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à reta dada.
(1,2) e 2 x+y=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as equações vetorial e paramétricas de uma reta que passa pelo ponto (1, 2) e que é perpendicular à reta dada pela equação 2x + y = 3. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como o cálculo de coeficientes angulares e a formulação de equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o coeficiente angular da reta que já foi dada, 2x + y = 3. Para isso, vamos rearranjar a equação para a forma y = mx + b, onde m é o coeficiente angular.
2x + y = 3 implies y = -2x + 3
Então, o coeficiente angular m dessa reta é -2.

Passo 3

Agora, como queremos uma reta que seja perpendicular à reta dada, precisamos encontrar o coeficiente angular dessa nova reta. Sabemos que, para retas perpendiculares, os coeficientes angulares são negativos recíprocos. Ou seja, se o coeficiente angular da primeira reta é -2, o da reta perpendicular será:
mperpendicular = -1-2 = 12

Passo 4

Com o coeficiente angular 12 e sabendo que a reta passa pelo ponto (1, 2), podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo m = 12, x0 = 1 e y0 = 2:
y - 2 = 12(x - 1)
Simplificando para encontrar a equação na forma y = mx + b:
y = 12x + 32

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações vetorial e paramétrica dessa reta.
Equação Vetorial:
Uma equação vetorial de reta pode ser escrita como:
r = r0 + tv
Onde r0 é o vetor posição do ponto dado (1, 2) e v é o vetor diretor da reta, que pode ser derivado do coeficiente angular 12.
Sabendo que o coeficiente angular m = De<a yDe<a x = 12, podemos escolher De<a x = 2 e De<a y = 1, então:
v = 2 1
Então, a equação vetorial fica:
r = 1 2 + t 2 1
Equação Paramétrica:
A partir da equação vetorial, podemos extrair as equações paramétricas separadamente para x e y:
x = 1 + 2t
y = 2 + t

Resposta

As equações vetorial e paramétrica da reta perpendicular à reta 2x + y = 3 que passa pelo ponto (1,,2) são:
Equação Vetorial:
r = 1 2 + t 2 1 , t in R
Equações Paramétricas:
x = 1 + 2t
y = 2 + t, t in R

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