(Valor: 2,5 pontos) Faça o que se pede abaixo:
(b) Calcule f^prime(x) se
x^f(x)=(f(x))^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos a equação x^f(x) = (f(x))^x e precisamos encontrar a derivada de f(x) , ou seja, f^prime(x) . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente diferenciação de funções com variáveis no expoente. Para isso, vamos usar logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a manipulação das potências. Assim:
ln(x^f(x)) = ln((f(x))^x)

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = b cdot ln(a) , podemos simplificar ambos os lados:
f(x) cdot ln(x) = x cdot ln(f(x))

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x . Lembrando que f(x) é uma função de x , usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
ddx[f(x) cdot ln(x)] = f^prime(x) cdot ln(x) + f(x)x
Derivando o lado direito:
ddx[x cdot ln(f(x))] = ln(f(x)) + x cdot f^prime(x)f(x)

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados:
f^prime(x) cdot ln(x) + f(x)x = ln(f(x)) + x cdot f^prime(x)f(x)
Vamos isolar f^prime(x) :
f^prime(x) cdot ln(x) - x cdot f^prime(x)f(x) = ln(f(x)) - f(x)x
Factorizando f^prime(x) :
f^prime(x) ( ln(x) - xf(x) ) = ln(f(x)) - f(x)x
Finalmente, isolando f^prime(x) :
f^prime(x) = ln(f(x)) - f(x)x ln(x) - xf(x)

Resposta

A derivada de f(x) é
f^prime(x) = ln(f(x)) - dfracf(x)x ln(x) - dfracxf(x)

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