(Valor: 2,5 pontos) Faça o que se pede abaixo:
(b) Calcule
se
(b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos a equação
e precisamos encontrar a derivada de
, ou seja,
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente diferenciação de funções com variáveis no expoente. Para isso, vamos usar logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a manipulação das potências. Assim:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar ambos os lados:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Passo 5
Igualando as derivadas dos dois lados:
Vamos isolar
:
Factorizando
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A derivada de
é