(Valor: 2,5 pontos) Calcule a integral
integral e^-theta cos (2 theta) d theta

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular a integral integral e^-theta cos (2 theta) dtheta. Isso envolve cálculo de integrais que combinam funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos usar o método de integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente escolhe u e dv de forma estratégica para facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula escolhendo:
u = cos(2theta) e dv = e^-theta dtheta
Agora, precisamos encontrar du e v:
du = -2sin(2theta) dtheta
v = integral e^-theta dtheta = -e^-theta

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^-theta cos(2theta) dtheta = uv - integral v , du
= -e^-theta cos(2theta) - integral (-e^-theta) (-2sin(2theta)) dtheta
= -e^-theta cos(2theta) - 2 integral e^-theta sin(2theta) dtheta

Passo 5

Agora, temos uma nova integral integral e^-theta sin(2theta) dtheta que também vamos resolver por integração por partes. Vamos escolher:
u = sin(2theta) e dv = e^-theta dtheta
Calculando du e v:
du = 2cos(2theta) dtheta
v = -e^-theta

Passo 6

Aplicando novamente a integração por partes:
integral e^-theta sin(2theta) dtheta = uv - integral v , du
= -e^-theta sin(2theta) - integral (-e^-theta) (2cos(2theta)) dtheta
= -e^-theta sin(2theta) + 2 integral e^-theta cos(2theta) dtheta

Passo 7

Vamos substituir essa expressão na equação anterior:
integral e^-theta cos(2theta) dtheta = -e^-theta cos(2theta) - 2 ( -e^-theta sin(2theta) + 2 integral e^-theta cos(2theta) dtheta )
= -e^-theta cos(2theta) + 2e^-theta sin(2theta) - 4 integral e^-theta cos(2theta) dtheta

Passo 8

Agora, vamos juntar os termos com a integral:
integral e^-theta cos(2theta) dtheta + 4 integral e^-theta cos(2theta) dtheta = -e^-theta cos(2theta) + 2e^-theta sin(2theta)
5 integral e^-theta cos(2theta) dtheta = -e^-theta cos(2theta) + 2e^-theta sin(2theta)

Passo 9

Isolando a integral:
integral e^-theta cos(2theta) dtheta = -e^-theta cos(2theta) + 2e^-theta sin(2theta) 5 + C

Resposta

integral e^-theta cos(2theta) dtheta = -e^-theta cos(2theta) + 2e^-theta sin(2theta) 5 + C

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