1. Determine o erro de integração ao calcular a integral
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}\left[2+\operatorname{sen}^{2}(x)\right] d x
utilizando a regra do Trapézio com m=4.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o erro ao usar a regra do Trapézio com m=4 na integral
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\bigl[2+\operatorname{sen}^2(x)\bigr]\,dx.
Estamos no conteúdo de métodos numéricos (regra do Trapézio) e vamos usar a fórmula de cota de erro do Trapézio, que depende de h e do máximo de \lvert f''(x)\rvert no intervalo.

Passo 2

Recordando a cota de erro para a regra do Trapézio em [a,b] com passo h=(b-a)/m:
\lvert E_T\rvert \le \frac{b-a}{12}\,h^2\,\max_{x\in[a,b]}\lvert f''(x)\rvert.
Aqui a=0, b=\pi e m=4, então
h=\frac{\pi-0}{4}=\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Definimos f(x)=\operatorname{sen}\bigl[2+\operatorname{sen}^2(x)\bigr]. Primeiro derivamos:
f'(x)=\cos\bigl(2+\operatorname{sen}^2(x)\bigr)\cdot 2\operatorname{sen}(x)\cos(x) =\operatorname{sen}(2x)\,\cos\bigl(2+\operatorname{sen}^2(x)\bigr).
Agora derivamos novamente para achar f''(x):
f''(x) =2\cos(2x)\,\cos\bigl(2+\operatorname{sen}^2(x)\bigr) -\sin^2(2x)\,\operatorname{sen}\bigl(2+\operatorname{sen}^2(x)\bigr).
Como \lvert\cos(\cdot)\rvert\le1 e \lvert\operatorname{sen}(\cdot)\rvert\le1, temos
\lvert f''(x)\rvert \le 2\cdot1 + 1\cdot1 = 3 \quad\text{para todo }x\in[0,\pi].

Passo 4

Substituindo na cota de erro:
\lvert E_T\rvert \le \frac{b-a}{12}\,h^2\,\max\lvert f''\rvert = \frac{\pi}{12}\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)^{2}\cdot 3 = \frac{3\,\pi^3}{12\cdot16} = \frac{\pi^3}{64}.

Resposta

A cota de erro na aplicação da regra do Trapézio com m=4 é
\lvert E_T\rvert \le \frac{\pi^3}{64}\approx0,48.

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