1. Calcule a integral
\int_{00}^{1} \int_{0}^{x}(x+y) d y d x
Utilize o método do trapézio com m=2

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}(x+y)\,dy\,dx
usando o método do trapézio com m=2. Vamos tratar como integral iterada, primeiro calculamos a integral interna em y exatamente e depois aplicamos o trapézio na integral em x.

Passo 2

Calcular a integral interna
g(x)=\int_{0}^{x}(x+y)\,dy.
Como x é constante em relação a y,
g(x)=\int_{0}^{x}x\,dy+\int_{0}^{x}y\,dy =x\bigl[y\bigr]_{0}^{x}+\frac{y^{2}}{2}\Bigl|_{0}^{x} =x\cdot x+\frac{x^{2}}{2} =\frac{3}{2}\,x^{2}.

Passo 3

Particionar o intervalo [0,1] em m=2 subintervalos de comprimento
h=\frac{1-0}{2}=0{,}5.
Os nós são
x_{0}=0,\quad x_{1}=0{,}5,\quad x_{2}=1.

Passo 4

Avaliar g(x) em cada nó:
g(x_{0})=g(0)=\frac{3}{2}\cdot0^{2}=0,
g(x_{1})=g(0{,}5)=\frac{3}{2}\cdot(0{,}5)^{2}=\frac{3}{2}\cdot0{,}25=0{,}375,
g(x_{2})=g(1)=\frac{3}{2}\cdot1^{2}=1{,}5.

Passo 5

Aplicar a regra composta do trapézio para \displaystyle \int_{0}^{1}g(x)\,dx:
T=\frac{h}{2}\bigl[g(x_{0})+2g(x_{1})+g(x_{2})\bigr] =\frac{0{,}5}{2}\bigl[0+2\cdot0{,}375+1{,}5\bigr] =0{,}25\cdot2{,}25 =0{,}5625.

Resposta

A aproximação pelo método do trapézio com m=2 é 0{,}5625.

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