Determine o erro máximo no ponto x=\pi do polinônimo de segunda ordem, em torno de x=\pi / 2, quando aproximando as seguintes funções:
\mathrm{e}^{x / \pi}

Passo 1

O enunciado pede aproximar a função
f(x)=e^{x/\pi}
pelo polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de x_0=\pi/2 e estimar o erro máximo no ponto x=\pi.
Conteúdo: Teorema de Taylor com resto de Lagrange. Precisamos das derivadas de ordem até 3 e do valor máximo de \,f^{(3)} no intervalo entre \pi/2 e \pi.

Passo 2

Calcular as derivadas de f:
f(x)=e^{x/\pi},\quad f'(x)=\frac1\pi\,e^{x/\pi},\quad f''(x)=\frac1{\pi^2}\,e^{x/\pi},\quad f^{(3)}(x)=\frac1{\pi^3}\,e^{x/\pi}.

Passo 3

Pelo Teorema de Taylor com resto de Lagrange, para algum \xi entre \pi/2 e \pi vale
R_2(\pi) =\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\bigl(\pi-\tfrac{\pi}{2}\bigr)^3 =\frac{f^{(3)}(\xi)}{6}\,\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^3.

Passo 4

No intervalo [\pi/2,\pi], e^{x/\pi} é crescente, logo
\max_{x\in[\pi/2,\pi]}f^{(3)}(x) =\frac1{\pi^3}e^{\pi/\pi} =\frac{e}{\pi^3}.
Logo o erro em módulo satisfaz
\bigl|R_2(\pi)\bigr| \le \frac{1}{6}\,\frac{e}{\pi^3}\,\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^3 =\frac{e}{6}\,\frac{\pi^3}{8\pi^3} =\frac{e}{48}.

Resposta

O erro máximo no ponto x=\pi é
\bigl|R_2(\pi)\bigr|\le\frac{e}{48}.

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