Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{2 x}}{x^{3}+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{2x}}{x^{3}+x^{2}}.
O conteúdo envolvido é limite de funções nas formas indeterminadas \infty/\infty. Para resolver, vamos usar a regra de l’Hôpital, que permite derivar numerador e denominador enquanto mantivermos essa forma.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: quando x\to\infty temos
\;e^{2x}\to\infty
e
\;x^{3}+x^{2}\to\infty,
logo o quociente está em \infty/\infty e podemos aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Aplicando l’Hôpital sucessivas vezes, derivamos numerador e denominador até eliminar o polinômio do denominador:
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{2x}}{x^{3}+x^{2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{2\,e^{2x}}{3x^{2}+2x} = \lim_{x\to\infty}\frac{4\,e^{2x}}{6x+2} = \lim_{x\to\infty}\frac{8\,e^{2x}}{6}.
Como \lim_{x\to\infty}e^{2x}=\infty, o último quociente diverge para \infty.

Passo 4

Alternativamente, sabemos que a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, o que também garante que
\dfrac{e^{2x}}{x^{3}+x^{2}}\to+\infty.

Resposta

+\infty

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