Determine o erro máximo no ponto x=\pi do polinônimo de segunda ordem, em torno de x=\pi / 2, quando aproximando as seguintes funções:
\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a função \sin(x) por um polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de a=\pi/2 e estimar o erro máximo desse polinômio no ponto x=\pi. O conteúdo utilizado será:
– Construção do polinômio de Taylor de segunda ordem.
– Fórmula do resto de Lagrange para polinômios de Taylor e sua estimativa.

Passo 2

Calculamos o polinômio de Taylor de grau 2 de f(x)=\sin(x) ao redor de a=\pi/2. As derivadas são
f(x)=\sin(x),\quad f'(x)=\cos(x),\quad f''(x)=-\sin(x),\quad f^{(3)}(x)=-\cos(x).
Em x=a=\pi/2 temos
\sin\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1,\quad \cos\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0,\quad -\sin\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=-1.
Logo o polinômio de ordem 2 é
P_2(x)=1 \;+\;0\,(x-\tfrac\pi2)\;+\;\frac{-1}{2}(x-\tfrac\pi2)^2 =1-\frac{(x-\tfrac\pi2)^2}{2}.

Passo 3

O resto de Lagrange de ordem 2 avalia-se por
R_2(x) =\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}(x-a)^3 \quad\text{para algum }\xi\text{ entre }a\text{ e }x.
Como \lvert f^{(3)}(\xi)\rvert=\lvert-\cos(\xi)\rvert\le1, temos o limite absoluto
\lvert R_2(x)\rvert \le\frac{1}{6}\,\lvert x-\tfrac\pi2\rvert^3.

Passo 4

Agora vamos ao ponto x=\pi. Neste caso
\bigl\lvert \pi-\tfrac\pi2\bigr\rvert=\tfrac\pi2,
logo o erro máximo satisfaz
\lvert R_2(\pi)\rvert \le\frac{1}{6}\Bigl(\tfrac\pi2\Bigr)^3 =\frac{\pi^3}{48}.

Resposta

O erro máximo no ponto x=\pi é
\frac{\pi^3}{48}.

Exercícios relacionados