Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}-\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{x} - \cos(x)}.
Este é um limite do tipo “ 0/0”, pois ao substituir x=0 temos 0/(1-1)=0/0. Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se \lim f(x)=0 e \lim g(x)=0 e as derivadas existem, então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite do quociente das derivadas exista.

Passo 2

Verificamos que
f(x)=x,\quad g(x)=e^{x}-\cos(x),
e que f(0)=0, g(0)=1-1=0. Logo, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital ao limite original.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x)=1, \qquad g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}-\cos(x)\bigr)=e^{x}+\sin(x).
Pela Regra de L’Hôpital, o limite passa a ser
\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{e^{x}+\sin(x)}.

Passo 4

Bast a substituir x=0 na expressão obtida:
e^{0}+\sin(0)=1+0=1,
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\lim_{x\to 0}\frac{1}{e^{x}+\sin(x)}=\frac{1}{1}=1.

Resposta

O valor do limite é 1.

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