Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
y=e^x, y=x^2, x=0 e x=1;

Passo 1

Temos a região no plano delimitada pelas curvas y = e^{x} (exponencial), y = x^{2} (parábola) e pelas retas verticais x = 0 e x = 1. O conteúdo é cálculo de área por integração definida e precisamos decidir a variável de integração.

Passo 2

Para esboçar, desenhe as duas curvas de x = 0 até x = 1: a parábola y = x^{2} parte de 0 e sobe devagar, e a exponencial y = e^{x} parte de 1 e sobe mais rápido. As retas x = 0 e x = 1 cortam ambas, e a região fica entre e^{x} (acima) e x^{2} (abaixo). Como as fronteiras em x estão claras, é mais prático integrar em x.

Passo 3

A área A é dada pela integral da função de cima menos a de baixo, em x de 0 a 1. Logo:
Calcular a integral. Primeiro, a primitiva de e^{x} é e^{x} e a de x^{2} é x^3/3. Então avaliamos:
A primitiva é
F(x)=e^x-tfracx^33,
e a área fica
A=F(1)-F(0)=(e-tfrac13)-(1-0)=e-tfrac43

Resposta

e-tfrac43

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