Se
, encontre o valor de a
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um limite:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limite e algumas propriedades das funções logarítmicas e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da fração:
.
Sabemos que, quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1, e
. Portanto, precisamos expandir
para termos uma aproximação quando
é pequeno.
Usamos a série de Taylor para
perto de 0:
Para
, podemos aproximar usando:
onde
Passo 3
Aplicando a aproximação:
Multiplicando por 2:
Passo 4
Agora, substituímos de volta no numerador da fração original:
Então, a expressão original fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0:
Mas de acordo com o enunciado, esse limite é igual a
. Portanto:
Isso implica que
tende ao infinito, mas isso não faz sentido no contexto do problema. Isso indica que precisamos considerar termos de ordem superior na expansão de
.
Passo 6
Vamos refazer a expansão de
incluindo mais termos:
Multiplicando por 2:
Substituindo no numerador:
Agora, a expressão original fica:
Calculando o limite:
Ainda obtemos 0, sugerindo que precisamos considerar termos ainda de ordem mais alta ou revisar o procedimento.
Passo 7
Na verdade, a abordagem correta é usar a regra de L’Hôpital, já que temos uma forma indeterminada
.
Vamos aplicar a regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite se torna:
Ainda obtemos 0, o que sugere que precisamos aplicar a regra de L’Hôpital novamente.
Passo 8
Aplicando a regra de L’Hôpital mais uma vez, derivamos novamente o numerador e o denominador:
Segunda derivada do numerador:
Segunda derivada do denominador:
Agora, o limite se torna:
Ainda obtemos 0, indicando que precisamos reconsiderar a abordagem ou verificar se há um erro na expansão.
Passo 9
Vamos reconsiderar a expansão de
:
Sabemos que:
Multiplicando por 2:
Substituindo no numerador:
Agora, a expressão original fica:
Calculando o limite:
Isso sugere que o limite fornecido no enunciado pode ter um valor diferente ou que precisamos reavaliar a abordagem.
Passo 10
Voltando ao enunciado, se o limite é igual a
e calculamos que o limite tende a 0, então:
Para que isso seja verdade,
deve tender a infinito. Entretanto, no contexto do problema, isso indica que possivelmente houve um erro na formulação do exercício ou na aplicação das regras.
Considerando que o limite calculado é 0, não existe um valor finito para
que satisfaça a igualdade.
Resposta
Não existe um valor finito de
que satisfaz o limite dado, já que o limite é igual a zero.