Se lim x 0 x^2+2 ln (cos x)3 x^2=-1a, encontre o valor de a

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um limite:
lim x 0 x^2+2 ln (cos x)3 x^2 = -1a
Nosso objetivo é encontrar o valor de a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limite e algumas propriedades das funções logarítmicas e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da fração: x^2 + 2 ln(cos x) .
Sabemos que, quando x se aproxima de 0, cos x se aproxima de 1, e ln(1) = 0 . Portanto, precisamos expandir ln(cos x) para termos uma aproximação quando x é pequeno.
Usamos a série de Taylor para cos x perto de 0:
cos x = 1 - x^22 + x^424 - dots
Para ln(cos x) , podemos aproximar usando:
ln(1 + y) approx y - y^22 + dots
onde y = cos x - 1 = -x^22 + x^424 - dots

Passo 3

Aplicando a aproximação:
ln(cos x) approx -x^22 - (x^22)^22 = -x^22 - x^48
Multiplicando por 2:
2 ln(cos x) approx -x^2 - x^44

Passo 4

Agora, substituímos de volta no numerador da fração original:
x^2 + 2 ln(cos x) approx x^2 - x^2 - x^44 = -x^44
Então, a expressão original fica:
x^2 + 2 ln(cos x)3 x^2 approx -x^44 3 x^2 = -x^2 12

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 0:
lim x 0 -x^2 12 = 0
Mas de acordo com o enunciado, esse limite é igual a -1a . Portanto:
0 = -1a
Isso implica que a tende ao infinito, mas isso não faz sentido no contexto do problema. Isso indica que precisamos considerar termos de ordem superior na expansão de ln(cos x) .

Passo 6

Vamos refazer a expansão de ln(cos x) incluindo mais termos:
ln(cos x) = -x^22 - x^412 + dots
Multiplicando por 2:
2 ln(cos x) = -x^2 - x^46 + dots
Substituindo no numerador:
x^2 + 2 ln(cos x) = x^2 - x^2 - x^46 = -x^46
Agora, a expressão original fica:
-x^46 3 x^2 = -x^2 18
Calculando o limite:
lim x 0 -x^2 18 = 0
Ainda obtemos 0, sugerindo que precisamos considerar termos ainda de ordem mais alta ou revisar o procedimento.

Passo 7

Na verdade, a abordagem correta é usar a regra de L’Hôpital, já que temos uma forma indeterminada 00 .
Vamos aplicar a regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador em relação a x :
Derivada do numerador:
ddx ( x^2 + 2 ln(cos x) ) = 2x + 2 cdot -sin x cos x = 2x - 2 tan x
Derivada do denominador:
ddx ( 3x^2 ) = 6x
Então, o limite se torna:
lim x 0 2x - 2 tan x6x = lim x 0 2x - 2x6x = lim x 0 06x = 0
Ainda obtemos 0, o que sugere que precisamos aplicar a regra de L’Hôpital novamente.

Passo 8

Aplicando a regra de L’Hôpital mais uma vez, derivamos novamente o numerador e o denominador:
Segunda derivada do numerador:
ddx ( 2x - 2 tan x ) = 2 - 2 sec^2 x
Segunda derivada do denominador:
ddx ( 6x ) = 6
Agora, o limite se torna:
lim x 0 2 - 2 sec^2 x6 = 2 - 2 cdot 16 = 06 = 0
Ainda obtemos 0, indicando que precisamos reconsiderar a abordagem ou verificar se há um erro na expansão.

Passo 9

Vamos reconsiderar a expansão de ln(cos x) :
Sabemos que:
ln(cos x) = -x^22 - x^412 - x^645 - dots
Multiplicando por 2:
2 ln(cos x) = -x^2 - x^46 - 2x^645 - dots
Substituindo no numerador:
x^2 + 2 ln(cos x) = x^2 - x^2 - x^46 - 2x^645 - dots = -x^46 - 2x^645 - dots
Agora, a expressão original fica:
-x^46 - 2x^645 3 x^2 = -x^2 18 - 2x^4135 - dots
Calculando o limite:
lim x 0 ( -x^2 18 - 2x^4135 - dots ) = 0
Isso sugere que o limite fornecido no enunciado pode ter um valor diferente ou que precisamos reavaliar a abordagem.

Passo 10

Voltando ao enunciado, se o limite é igual a -1a e calculamos que o limite tende a 0, então:
0 = -1a
Para que isso seja verdade, a deve tender a infinito. Entretanto, no contexto do problema, isso indica que possivelmente houve um erro na formulação do exercício ou na aplicação das regras.
Considerando que o limite calculado é 0, não existe um valor finito para a que satisfaça a igualdade.

Resposta

Não existe um valor finito de a que satisfaz o limite dado, já que o limite é igual a zero.

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