Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e desenhar a área que está entre duas curvas:
e
. Para isso, vamos usar o cálculo integral. Primeiro, precisamos decidir se vamos integrar em relação a
ou a
. Normalmente, a gente escolhe a opção que facilita os cálculos, então vamos analisar isso durante a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso acontece onde
. Vamos resolver essa equação:
Então,
ou
. Agora, vamos encontrar os valores de
correspondentes:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos ver qual das duas funções está acima da outra no intervalo de
a
. Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Para
:
Para
:
Como
, a curva
está acima da curva
nesse intervalo.
Passo 4
Agora que sabemos que vamos integrar em relação a
(porque as funções estão descritas em termos de
e é mais fácil ver qual está acima), podemos montar nossa integral para encontrar a área:
Simplificando dentro da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Agora, aplicamos os limites de 0 a 2:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.