Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
y=3 x-x^2 e y=x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e desenhar a área que está entre duas curvas: y = 3x - x^2 e y = x . Para isso, vamos usar o cálculo integral. Primeiro, precisamos decidir se vamos integrar em relação a x ou a y . Normalmente, a gente escolhe a opção que facilita os cálculos, então vamos analisar isso durante a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso acontece onde 3x - x^2 = x . Vamos resolver essa equação:
3x - x^2 = x 3x - x - x^2 = 0 2x - x^2 = 0 x(2 - x) = 0
Então, x = 0 ou x = 2 . Agora, vamos encontrar os valores de y correspondentes:
Para x = 0 :
y = 0
Para x = 2 :
y = 2
Então, os pontos de interseção são (0, 0) e (2, 2) .

Passo 3

Agora, vamos ver qual das duas funções está acima da outra no intervalo de x = 0 a x = 2 . Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, x = 1 :
Para y = 3x - x^2 :
y = 3(1) - (1)^2 = 3 - 1 = 2
Para y = x :
y = 1
Como 2 > 1 , a curva y = 3x - x^2 está acima da curva y = x nesse intervalo.

Passo 4

Agora que sabemos que vamos integrar em relação a x (porque as funções estão descritas em termos de x e é mais fácil ver qual está acima), podemos montar nossa integral para encontrar a área:
Área = integral0^2 ( (3x - x^2) - x ) dx Á
Simplificando dentro da integral:
Área = integral0^2 (2x - x^2) dx Á

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral (2x - x^2) dx = integral 2x , dx - integral x^2 , dx = x^2 - x^33 + C
Agora, aplicamos os limites de 0 a 2:
Área = [ x^2 - x^33 ]0^2 = ( (2)^2 - (2)^33 ) - ( 0 - 0 ) = 4 - 83 = 123 - 83 = 43 Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas y = 3x - x^2 e y = x é 43 unidades de área.

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