Determine e esboce as componentes pares e ímpares dos sinais a seguir:
x(t)=t cdot u(t).

Passo 1

Beleza, a gente tem o sinal x(t)=t·u(t) e quer dividir ele em duas partes: a parte par e a parte ímpar. Isso faz parte do tópico “decomposição de sinais em componentes par e ímpar”. Pra resolver, vamos precisar de:
  1. saber o que é u(t) (função degrau unitário);
  2. lembrar as fórmulas
xe(t)=x(t)+x(-t)2, xo(t)=x(t)-x(-t)2

Passo 2

Antes de mais nada, lembra que
u(t)= 1,&t>=0,0,&t<0,
então
x(t)=t·u(t)= t,&t>=0,0,&t<0

Passo 3

Agora precisamos de x(-t). Trocar t por –t:
x(-t)=(-t)·u(-t).
Mas u(-t)=1 quando –t≥0 ⇔ t≤0, e vale 0 se t>0. Logo
x(-t)= -t,&t<=0,0,&t>0

Passo 4

Aplicando as fórmulas de decomposição:
  1. Componente par
xe(t)=x(t)+x(-t)2 = t+02= t2,&t>0,[6pt] 0+(-t)2=- t2=|t|2,&t<0,[4pt] (no t=0 dá 0) á
Perceba que isso é igual a xo(t)=x(t)-x(-t)2 = t-02= t2,&t>0,[6pt] 0-(-t)2= t2,&t<0, (em t=0 também 0) para todos os t: sinal em “V” simétrico.
  1. Componente ímpar
é
Ou seja, para todo t, uma reta passando na origem, anti-simétrica.

Passo 5

Pra esboçar:
  • x_e(t)=|t|/2: um “V” aberto de vértice na origem, inclinação +½ nos dois lados.
  • x_o(t)=t/2: reta inclinada pra cima com coeficiente angular ½, passando por (0,0), mudando sinal conforme t.

Resposta

x_e(t)=\tfrac{|t|}{2},
x_o(t)=\tfrac t2.

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