(OPPENHEIM, Problema 2.42, p. 88) Suponha que o sinal x(t)=u(t+12)-u(t-12) seja convoluído com o sinal h(t)=e^j omegao t.
A resposta do item anterior é única?

Passo 1

Então, o enunciado diz: o sinal
x(t)=ul(t+tfrac12r)-ul(t-tfrac12r)
é convoluído com
h(t)=e^jomega0 t,
A questão também pergunta se a resposta dessa convolução é única ou não.
Conteúdo: é convolução de sinais contínuos; vamos usar a definição de convolução, identificar o suporte de x(t) e calcular a integral. Depois, vamos checar o teorema que garante unicidade quando um dos sinais é absolutamente integrável.

Passo 2

Lembra que a convolução contínua é assim:
y(t)=(x*h)(t)=integral-infty^+inftyx(tau),h(t-tau),dtau,
Aqui h(t-tau)=e^jomega0 (t-tau)=e^jomega0 t,e^-jomega0tau. Então
$$y(t)=\int_{-\infty}{+\infty}x(\tau),e{j\omega_0 t},e^{-j\omega_0\tau},d\tau
=e^{j\omega_0 t}\int_{-\infty}{+\infty}x(\tau),e{-j\omega_0\tau},d\tau,. $$

Passo 3

Observa o suporte de x(t):
x(t)=1se -tfrac12< t
Logo, na integral só conta tauin[-tfrac12,tfrac12]. Então
$$\int_{-\infty}{+\infty}x(\tau)e{-j\omega_0\tau}d\tau
=\int_{-1/2}{1/2}e{-j\omega_0\tau}d\tau,. $$

Passo 4

Vamos resolver essa integral:
integral-1/2^1/2e^-jomega0taudtau =l[e^-jomega0tau-jomega0r]-1/2^1/2 =e^-jomega0/2-e^,jomega0/2-jomega0,
Repara que e^-jalpha-e^jalpha=-2jsinalpha. Então
integral-1/2^1/2e^-jomega0taudtau =-2jsin(omega0/2)-jomega0 =2sin(omega0/2)omega0,

Passo 5

Substituindo de volta em y(t), fica
y(t)=e^jomega0 t,2sin(omega0/2)omega0,
Isso resolve a convolução.
Agora, sobre unicidade: existe um teorema que diz que se um dos sinais for absolutamente integrável (isto é, integral|x(t)|dt) então a convolução está bem definida e é única. Nosso x(t) é um retângulo de largura finita, logo tem área finita e é absolutamente integrável. Portanto, a resposta é única.

Resposta

boxedy(t)=2sinl(omega02r)omega0;e^jomega0 t,e sim, a resposta é únicaéú

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