(OPPENHEIM, Problema 2.42, p. 88) Suponha que o sinal
seja convoluído com o sinal
.
A resposta do item anterior é única?
A resposta do item anterior é única?
Passo 1
Então, o enunciado diz: o sinal
é convoluído com
A questão também pergunta se a resposta dessa convolução é única ou não.
Conteúdo: é convolução de sinais contínuos; vamos usar a definição de convolução, identificar o suporte de e calcular a integral. Depois, vamos checar o teorema que garante unicidade quando um dos sinais é absolutamente integrável.
Conteúdo: é convolução de sinais contínuos; vamos usar a definição de convolução, identificar o suporte de
Passo 2
Lembra que a convolução contínua é assim:
Aqui
$$y(t)=\int_{-\infty}{+\infty}x(\tau),e{j\omega_0 t},e^{-j\omega_0\tau},d\tau
=e^{j\omega_0 t}\int_{-\infty}{+\infty}x(\tau),e{-j\omega_0\tau},d\tau,. $$
Passo 3
Observa o suporte de
:
Logo, na integral só conta
$$\int_{-\infty}{+\infty}x(\tau)e{-j\omega_0\tau}d\tau
=\int_{-1/2}{1/2}e{-j\omega_0\tau}d\tau,. $$
Passo 4
Vamos resolver essa integral:
Repara que
. Então
Passo 5
Substituindo de volta em
, fica
Isso resolve a convolução.
Agora, sobre unicidade: existe um teorema que diz que se um dos sinais for absolutamente integrável (isto é,
) então a convolução está bem definida e é única. Nosso
é um retângulo de largura finita, logo tem área finita e é absolutamente integrável. Portanto, a resposta é única.