Determine e esboce a curva de nível da função f(x, y)=2 y-4 x^3 que passa pelo ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede a curva de nível da função
f(x,y)=2y-4x^3
que passa pelo ponto (1,1). Vamos usar o conceito de curva de nível: é o conjunto de (x,y) tais que f(x,y)=c, onde c é o valor de f em (1,1).

Passo 2

Calcular c=f(1,1):
c = 2cdot1 - 4cdot1^3 = 2 - 4 = -2

Passo 3

Escrever a equação da curva de nível f(x,y)=c com c=-2:
2y - 4x^3 = -2
Isolando y, obtemos
y = 2x^3 - 1

Passo 4

Para esboçar a curva y=2x^3-1, basta notar que é um polinômio de grau 3 com:
  • ponto (0,-1),
  • ponto (-1,-3),
  • ponto (1,1),
    e cresce para ytopminfty quando xtopminfty. O gráfico é uma curva íngreme que possui inflexão suave em (0,-1), atravessando (1,1).

Resposta

A curva de nível é
y = 2x^3 - 1,
cujo esboço é o gráfico de um cubicão passando por (1,1).

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