Exercício 3. (Guidorizzi seção 6.1 exercício 5, 6 e 7) Seja E(x, y)=1(x^2+y^2)^32(x, y). Calcule a Integral de linha integral E d alpha no caso em que
alpha(t)=(t, 1),-1 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
E(x,y)=1(x^2+y^2)^3/2(x,y)
e a parametrização da curva
alpha(t)=(t,1) para -1<= t<=1.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, que se calcula por
integral Ecdot dalpha ;=;integrala^bEl(alpha(t)r)cdotalpha'(t),dt

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização:
alpha'(t)=l(1,0r)

Passo 3

Substituímos na expressão do campo e fazemos o produto escalar:
El(alpha(t)r) =1l(t^2+1^2r)^3/2,(t,1) =l(t(t^2+1)^3/2,,1(t^2+1)^3/2r),
então
El(alpha(t)r)cdotalpha'(t) =t(t^2+1)^3/2cdot1 =t(t^2+1)^3/2,

Passo 4

A integral fica
integral-1^1t(t^2+1)^3/2,dt
Como a função tmapsto t(t^2+1)^3/2 é ímpar e o intervalo de integração é simétrico, a integral é zero.

Resposta

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