Problema 47 Calcule m e n para que (3 x^2-x+2)(m x-n)=6 x^3-5 x^2+5 x-2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar m e n tais que o produto de polinômios
(3x^2-x+2)(m x - n)
seja igual ao polinômio dado
6x^3-5x^2+5x-2
O conteúdo aqui é expansão de produto de polinômios e comparação de coeficientes.

Passo 2

Vamos expandir
(3x^2-x+2)(m x - n)
Multiplicando termo a termo, obtemos
3x^2cdot (m x) ;+; 3x^2cdot(-n);+;(-x)cdot(m x);+;(-x)cdot(-n);+;2cdot(m x);+;2cdot(-n),
isto é,
3m,x^3 ;-;3n,x^2;-;m,x^2;+;n,x;+;2m,x;-;2n
Agrupando termos semelhantes:
3m,x^3 +(-m-3n),x^2 +(n+2m),x -2n

Passo 3

Comparamos este resultado com o polinômio-alvo
6x^3-5x^2+5x-2
Pelo coeficiente de x^3, temos
3m = 6 Longrightarrow m = 2

Passo 4

Pelo coeficiente de x^2, obtemos
-,m ;-;3n = -5 Longrightarrow -2 -3n = -5 Longrightarrow -3n = -3 Longrightarrow n = 1

Passo 5

Podemos checar os demais termos:
coeficiente de x é n+2m = 1+4 =5 (confere)
e termo constante é -2n = -2 (confere).

Resposta

m = 2, n = 1.

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