Exercício 3. (Guidorizzi seção 6.1 exercício 5, 6 e 7) Seja E(x, y)=1(x^2+y^2)^32(x, y). Calcule a Integral de linha integral E d alpha no caso em que
alpha(t)=(t, 1-t^4),-1 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralalphaEcdot dalpha
onde
E(x,y)=1l(x^2+y^2r)^3/2(x,y),
alpha(t)=(t,,1-t^4), tin[-1,1]
O assunto aqui é reconhecer que E é um campo conservativo (fora da origem) e usar um potencial para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo nas integrais de linha.

Passo 2

Mostramos que existe uma função escalar phi(x,y) tal que
nablaphi(x,y)=l(partialphipartial x,,partialphipartial yr) =-E(x,y)
Considere
phi(x,y)=1raizx^2+y^2
Então
partialphipartial x =-x(x^2+y^2)^3/2, partialphipartial y =-y(x^2+y^2)^3/2,
de onde
nablaphi(x,y) =-1(x^2+y^2)^3/2(x,y) =-E(x,y)
Logo E=-nablaphi, ou seja, E é conservativo com potencial phi.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
integralalphaEcdot dalpha =integralt=-1^1El(alpha(t)r)cdotalpha'(t),dt =phil(alpha(-1)r)-phil(alpha(1)r)
Calculamos os extremos da curva:
alpha(-1)=(-1,,0), alpha(1)=(1,,0)
Então
phil(-1,0r) =1raiz(-1)^2+0^2=1, phil(1,0r) =1raiz1^2+0^2=1
Portanto
integralalphaEcdot dalpha =1-1=0

Resposta

0

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