a) Determine e esboce o domínio de F(x, y)=\left\langle y \operatorname{sen}\left(\frac{1}{y}\right), e^{x^{2}+y^{2}}\right\rangle.
b) Verifique se
F(x, y)=\left\{\begin{array}{rc} y \operatorname{sen}\left(\frac{1}{y}\right) i+e^{x^{2}+y^{2}} j, & \text { se } x \neq 0 \\\ i+e^{y^{2}} j, & \text { se } x=0 \end{array} .\right.
é contínua no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Na parte (a), temos o campo vetorial
F(x,y)=\bigl\langle y\,\sin\!\bigl(\tfrac1y\bigr),\,e^{x^2+y^2}\bigr\rangle
e queremos encontrar e esboçar seu domínio. Na parte (b), define-se um novo campo vetorial por
F(x,y)= \begin{cases} y\,\sin\!\bigl(\tfrac1y\bigr)\,i + e^{x^2+y^2}\,j, & x\neq 0,\\\ i + e^{y^2}\,j, & x=0, \end{cases}
e precisamos verificar se ele é contínuo em (0,0).

Passo 2

Para a parte (a), analisamos cada componente de
F(x,y)=\bigl\langle y\,\sin\!\bigl(\tfrac1y\bigr),\,e^{x^2+y^2}\bigr\rangle.
A função \sin(1/y) só está definida quando y\neq0, mas e^{x^2+y^2} é definida para todo (x,y). Logo o domínio é
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\neq 0\}.

Passo 3

O esboço de D é simplesmente o plano cartesiano sem a reta horizontal y=0. Em outras palavras, duas faixas: uma para y>0 e outra para y<0, excluindo-se o próprio eixo x.

Passo 4

Para a parte (b), escrevemos
F(x,y)= \begin{cases} \bigl(y\,\sin(\tfrac1y),\;e^{x^2+y^2}\bigr),&x\neq0,\\\ (1,\;e^{y^2}),&x=0. \end{cases}
Para ser contínuo em (0,0), precisamos ter
\lim_{(x,y)\to(0,0)}F(x,y)=F(0,0).
Pelo ramo x=0, F(0,0)=(1,e^0)=(1,1).

Passo 5

Agora avaliamos o limite aproximando (x,y)\to(0,0) pelos pontos com x\neq0. Temos
y\,\sin\!\bigl(\tfrac1y\bigr)\;\longrightarrow\;0 \quad\text{e}\quad e^{x^2+y^2}\;\longrightarrow\;1,
pois \bigl|y\sin(1/y)\bigr|\le|y|\to0 e x^2+y^2\to0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,x\neq0}F(x,y)=(0,1).

Passo 6

Como (0,1)\neq(1,1)=F(0,0), o limite não coincide com o valor em (0,0). Portanto o campo não é contínuo em (0,0).

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\neq0\}.
(b) Não é contínuo em (0,0).

Exercícios relacionados